Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: kylercopeland »

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\ln \left( \frac{2+x}{1+x} \right)}\). Wyznaczyć dla jakich x otrzymany szereg jest zbieżny.

Zrobiłem tak:
Liczę pochodną, potem rozkładam na ułamki proste, otrzymuję:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} }{1-(- \frac{1}{2}x) } + \frac{ -1 }{1-(-x) }}\)

W obu przypadkach korzystam ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, przy czym \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\) więc \(\displaystyle{ x \in (-1,1)}\), łączę wszystko pod jednym znakiem \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\) i całkuję, koniec końców otrzymując:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left( -1 \right)^n \left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1} -1 \right] \frac{1}{n+1} x ^{n+1} + C}\).

Liczę \(\displaystyle{ f(0)=c=\ln (2)}\)

Teraz liczę dziedzinę \(\displaystyle{ f(x)=\ln \left( \frac{2+x}{1+x} \right)}\), wychodzi że \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup (-1,+ \infty )}\)

Część wspólna obu dziedzin to \(\displaystyle{ x \in (-1,1)}\). Sprawdzam zbieżność na krańcach: \(\displaystyle{ x= -1}\) nie należy do dziedziny logarytmu, zostaje przypadek gdy \(\displaystyle{ x=1}\). Czy mogę tutaj skorzystać z warunku koniecznego punktowej zbieżności szeregu funkcyjnego? Granica przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) powinna być równa zero, a jest równa \(\displaystyle{ \ln (2)}\), więc szereg nie jest zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\)?
Ostatnio zmieniony 29 cze 2018, o 16:40 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Zymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: Zymon »

Promień (a właściwie nawet zbiór punktów) zbieżności już implicite ustaliłeś na samym początku stosując wzór na sumę szeregu geometrycznego.

Osobiście jednak dziedziną funkcji zająłbym się na samym początku żeby w ogóle działania na logarytmie miały sens.
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: kylercopeland »

Rzecz w tym, że czasami dla \(\displaystyle{ \left| q\right| =1}\) szereg też wychodzi zbieżny.
Zymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: Zymon »

Geometryczny? Niemożliwe.
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: kylercopeland »

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x^n(1-x)}\) Sprawdź sobie dla \(\displaystyle{ x=1}\)
Zymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: Zymon »

Ale przecież Ty zastosowałeś wzór na sumę takiego szeregu.. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} ax^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR}\). On jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ |q| < 1}\)
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: kylercopeland »

Nie wiem do czego zmierza ta dyskusja ale chodzi mi o to, że skoro szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x^n(1-x)}\) jest zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\) to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left( -1 \right)^n \left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1} -1 \right] \frac{1}{n+1} x ^{n+1} + \ln 2}\) również może być zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\). Jak to sprawdzić?
Zymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: Zymon »

Próbuje Ci uświadomić, że Twoje rachunki mają sens i sumują się do funkcji wyjściowej wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x \in (-1, 1)}\).
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: Lider_M »

Twierdzenie o całkowaniu szeregów potęgowych mówi, że możemy "to" robić we wnętrzu obszaru zbieżności, nie wiadomo co się dzieje na jego krańcach, co powinniśmy sprawdzić osobno. Przecież np. szereg \(\displaystyle{ \sum x^n}\) jest zbieżny wyłącznie na przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\), a jego "całka", tzn. szereg \(\displaystyle{ \sum\frac{1}{n+1}x^{n+1}}\), jest zbieżny na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1)}\).
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: kylercopeland »

Dokładnie o to mi chodzi. W jaki sposób sprawdzić co dzieje się na krańcu przedzialu?
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: PoweredDragon »

Podstawiając kraniec i badając zbieżność?
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie

Post autor: kylercopeland »

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left( -1 \right)^n \left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1} -1 \right] \frac{1}{n+1} 1 ^{n+1} + \ln 2}\).

Cały problem w tym że nie wiem czy wyżej wymieniony szereg będzie zbieżny czy rozbieżny. Z jakiego kryterium tutaj skorzystać?

Poprzednie pytanie wciąż aktualne:
kylercopeland pisze:Czy mogę tutaj skorzystać z warunku koniecznego punktowej zbieżności szeregu funkcyjnego? Granica przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) powinna być równa zero, a jest równa \(\displaystyle{ \ln (2)}\), więc szereg nie jest zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\)?
-- 1 lip 2018, o 14:31 --Ktoś coś?
Ostatnio zmieniony 30 cze 2018, o 13:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
ODPOWIEDZ