Przedział zbieżności szeregu

[monikap7]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left[ \left( \frac{n+1}{n} \right) ^n \cdot x\right]^n}\)

[szw1710]

Wystarczy zastosować twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda w wersji z pierwiastkiem.

[monikap7]

o to twierdzenie chodzi?
... -Hadamarda
Ale jak je zastosowac?

[Janusz Tracz]

Zgadza się chodzi o to twierdzenie. Musisz policzyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sup \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}\right| }}\). A ponieważ granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n=e}\) (czyli jest tylko jeden punkt skupienia) to maksimum punktów skupienia \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sup \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}\right| }=e}\). Czyli \(\displaystyle{ R\in\left(- \frac{1}{e}, \frac{1}{e}\right)}\).

Całe to działanie było równoważne ze zwykłym zastosowaniem kryterium Cauchy’ego i pytaniem kiedy (dla jakich \(\displaystyle{ x}\)?) mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \left[ \left( \frac{n+1}{n} \right) ^n \cdot x\right]^n\right| }=e|x|<1}\)

Widać że wyniki te pokrywają się. Pytanie czy krańce przedziału należą do promienia zbieżności by się przekonać trzeba podstawić i sprawdzić. Dla \(\displaystyle{ x= \frac{1}{e}}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n^2}e^{-n}}\). Taki szereg nie spełnia nawet warunku koniecznego jest to dość przyjemne zadanie które zostawiłem dla Ciebie. Dla \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{e}}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n^2}e^{-n}}\) jeśli wywoskujesz że wcześniej nie był spełniony warunek konieczny to w tym przykładne odpowiednia granica nie istnieje więc warunek konieczny również nie może być spełniony.