Jednostajna zbieżność

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
inf2017
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 sty 2018, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Jednostajna zbieżność

Post autor: inf2017 » 26 mar 2018, o 21:16

Witam, jak zbadać jednostajną zbieżność na zbiorze \(\displaystyle{ X=[0,infty)}\)
następującego ciągu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14522
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: Jednostajna zbieżność

Post autor: Premislav » 26 mar 2018, o 21:33

Zauważmy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ t>0}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ e^t>\frac{t^2}{2}}\), dowód pozostawiam jako ćwiczenie. Otrzymujemy zatem dla \(\displaystyle{ x>0}\):
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{e^{n^2 x}}\le \frac{2x^2}{(n^2 x)^2} = \frac{2}{n^4}}\), zaś szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n^4}}\) jest zbieżny. Poza tym nierówność
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{e^{n^2 x}} \le \frac{2}{n^4}, \ n=1,2\ldots}\) zachodzi również dla \(\displaystyle{ x=0}\).
Zatem spełnione są założenia kryterium Weierstrassa.

inf2017
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 sty 2018, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Jednostajna zbieżność

Post autor: inf2017 » 26 mar 2018, o 21:39

Bardzo dziękuję za odpowiedź. Jednak zastawiam się, czy nic nie zmienia fakt, że zaczynamy sumować od n=0?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14522
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: Jednostajna zbieżność

Post autor: Premislav » 26 mar 2018, o 21:54

Uuu, jednak to faktycznie wymaga co najmniej komentarza. Szczerze powiedziawszy nie zauważyłem tego.

Zapiszmy w takim razie
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}=x^2+\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}}\)
Szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}}\) jest jednostajnie zbieżny w \(\displaystyle{ [0,+infty)}\) – szkic uzasadnienia podałem powyżej. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ g(x)}\) jego sumę. Wówczas twierdzę, że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}}\) jest jednostajnie zbieżny do \(\displaystyle{ x^2+g(x)}\) w zbiorze \(\displaystyle{ X=[0,+infty)}\).
Patrz definicja jednostajnej zbieżności (jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego to jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego złożonego z sum częściowych):
chcemy, by
\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty } \sup_{x\ge 0}\left| g(x)+x^2-\sum_{n=0}^{N} \frac {x^2}{e^{n^2x}}\right|=0}\)
a to jest dokładnie wtedy, gdy
\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty } \sup_{x\ge 0}\left| g(x)-\sum_{n=1}^{N} \frac {x^2}{e^{n^2x}}\right|=0}\)
a to mamy, bo wywnioskowaliśmy jednostajną zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}}\).
Ogólnie skończenie wiele (dobrze określonych oczywiście) wyrazów nie wpływa na zbieżność.

ODPOWIEDZ