Mam problem z zadaniami dotyczącymi zbieżności ciągu funkcyjnego.
Najpierw zbieżność punktowa, tutaj jak rozumiem wystarczy wyliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_{n}(x)}\) ze względu na \(\displaystyle{ x}\) tak? I jeżeli wynikiem będzie funkcja ciągła to przechodzimy do badania zbieżności jednostajnej.
I teraz badamy czy \(\displaystyle{ \sup_{x \in R}\left| f_{n}(x)-f\right| \rightarrow 0}\), tak? Gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest wynikiem badania zbieżności punktowej. I robimy to poprzez szacowanie z góry ciągiem liczbowym, który zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) lub z dołu ciągiem, który do \(\displaystyle{ 0}\) nie zbiega. W pierwszym przypadku zbieżność jednostajna jest, a w drugim jej nie ma?
Oczywiście zakładałem, że \(\displaystyle{ x \in \RR}\)
Chodzi mi o jakiś ogólny schemat badania zbieżności jednostajnej.
Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 137
- Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 36 razy
Re: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu
Prócz tego, że z tej ciągłości mozesz skorzystać, gdy wiesz, że \(\displaystyle{ (f_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) jest ciągiem funkcji ciągłych.
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 13 sty 2016, o 00:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 12 razy
Re: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu
W jaki sposób z niej skorzystać?Pakro pisze:Prócz tego, że z tej ciągłości mozesz skorzystać, gdy wiesz, że \(\displaystyle{ (f_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) jest ciągiem funkcji ciągłych.
Wiem też, że w niektórych przykładach stosuje się pochodne, w jaki sposób ich użyć?
-
- Użytkownik
- Posty: 137
- Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 36 razy
Re: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu
Tw. Granica jednostajna ciagu funkcji ciąglych jest funlcja ciagla.
Wynika stad , ze jesli granica nie jest funkcja ciagla, a \(\displaystyle{ f_n}\) sa, to nie ma mowy o jednostajnej zbiezności
Czasami cieżko jest wyznaczyć oczasowanie \(\displaystyle{ \mid f_n(x)- f(x) \mid}\) i szuka sie go wlasnie używając pochodnych.
Wynika stad , ze jesli granica nie jest funkcja ciagla, a \(\displaystyle{ f_n}\) sa, to nie ma mowy o jednostajnej zbiezności
Czasami cieżko jest wyznaczyć oczasowanie \(\displaystyle{ \mid f_n(x)- f(x) \mid}\) i szuka sie go wlasnie używając pochodnych.
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 13 sty 2016, o 00:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 12 razy
Re: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu
Mógłbym prosić o jakieś wytłumaczenie na przykładzie albo jakiś odnośnik do takiego gdzie jest to wytlumaczone krok po kroku?