Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Krodinor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 13 sty 2016, o 00:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 12 razy

Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Post autor: Krodinor »

Mam problem z zadaniami dotyczącymi zbieżności ciągu funkcyjnego.

Najpierw zbieżność punktowa, tutaj jak rozumiem wystarczy wyliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_{n}(x)}\) ze względu na \(\displaystyle{ x}\) tak? I jeżeli wynikiem będzie funkcja ciągła to przechodzimy do badania zbieżności jednostajnej.
I teraz badamy czy \(\displaystyle{ \sup_{x \in R}\left| f_{n}(x)-f\right| \rightarrow 0}\), tak? Gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest wynikiem badania zbieżności punktowej. I robimy to poprzez szacowanie z góry ciągiem liczbowym, który zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) lub z dołu ciągiem, który do \(\displaystyle{ 0}\) nie zbiega. W pierwszym przypadku zbieżność jednostajna jest, a w drugim jej nie ma?
Oczywiście zakładałem, że \(\displaystyle{ x \in \RR}\)

Chodzi mi o jakiś ogólny schemat badania zbieżności jednostajnej.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Post autor: bartek118 »

Wszystko, co napisałeś jest prawdą.
Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Post autor: Pakro »

Prócz tego, że z tej ciągłości mozesz skorzystać, gdy wiesz, że \(\displaystyle{ (f_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) jest ciągiem funkcji ciągłych.
Krodinor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 13 sty 2016, o 00:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Post autor: Krodinor »

Pakro pisze:Prócz tego, że z tej ciągłości mozesz skorzystać, gdy wiesz, że \(\displaystyle{ (f_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) jest ciągiem funkcji ciągłych.
W jaki sposób z niej skorzystać?
Wiem też, że w niektórych przykładach stosuje się pochodne, w jaki sposób ich użyć?
Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Post autor: Pakro »

Tw. Granica jednostajna ciagu funkcji ciąglych jest funlcja ciagla.
Wynika stad , ze jesli granica nie jest funkcja ciagla, a \(\displaystyle{ f_n}\) sa, to nie ma mowy o jednostajnej zbiezności
Czasami cieżko jest wyznaczyć oczasowanie \(\displaystyle{ \mid f_n(x)- f(x) \mid}\) i szuka sie go wlasnie używając pochodnych.
Krodinor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 13 sty 2016, o 00:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Post autor: Krodinor »

Mógłbym prosić o jakieś wytłumaczenie na przykładzie albo jakiś odnośnik do takiego gdzie jest to wytlumaczone krok po kroku?
ODPOWIEDZ