Tw.Jezeli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}\) elementów przestrzeni Banacha X jest zbiezny, a ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest monotonicznym i ograniczonym ciągiem liczbowym, to szereg : \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}}\) jest zbieżny.
Jak to udowodnic? Prosze o pomoc! Z góry dziekuje!
Kryterium Abela
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Kryterium Abela
Wskazówka:
Udowodnij najpierw lemat (zwany tożsamością Abela lub przekształceniem Abela):
Jeśli: \(\displaystyle{ A_{k} = \sum_{j = 1}^{k} a_{j}}\), to:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n}a_{k}b_{k} =\sum_{k = 1}^{n - 1}(b_{k} - b_{k + 1})A_{k} + b_{n}A_{n}}\)
Udowodnij najpierw lemat (zwany tożsamością Abela lub przekształceniem Abela):
Jeśli: \(\displaystyle{ A_{k} = \sum_{j = 1}^{k} a_{j}}\), to:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n}a_{k}b_{k} =\sum_{k = 1}^{n - 1}(b_{k} - b_{k + 1})A_{k} + b_{n}A_{n}}\)