Matematyka.pl

tak jak w temacie.. proszę o znalezienie promienia zbieżności szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}}\)

i w przedziale jego zbieżności znaleźć funkcję określoną tym szeregiem..

z góry dzięki za wszelkie próby i rozwiązania

Aby znaleźć promień zbieżności można obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{\frac{1}{n}} = 1}\)
ponieważ jest ona skończona, to promień zbieżności równy jest jej odwrotności czyli:
\(\displaystyle{ R = 1}\)
Dla \(\displaystyle{ x = 1}\) dostajemy szereg harmoniczny rozbieżny, a dla \(\displaystyle{ x = -1}\) zbieżny warunkowo (tw Leibniza) szereg naprzemienny.
Aby znaleźć funkcję wyrażającą się przez sumę tego szeregu można go zróżniczkować korzystając z tw o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz za wyrazem - otrzymamy szereg geometryczny o sumie \(\displaystyle{ \frac{1}{1 - x}}\), którą następnie całkujemy w przedziale \(\displaystyle{ [0, x]}\) dla \(\displaystyle{ -1 qslant x < 1}\).
Ostatecznie: \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n} = -\ln (1 - x)}\), dla \(\displaystyle{ x [-1, 1)}\).