Matematyka.pl

potrzebuję pomocy przy dwóch następujących zadankach

Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{x}}}\) jest zbieżny? odpowiedz uzasadnij.



Wyznacz promień zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_}\)\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{n^{2}+1}}\)\(\displaystyle{ x^{n}}\)

jezeli ktos by sie podjął to prosze o szczegołowe rozpisanie bo za dory to w tym nie jestem
z gory dziekuje

Czy mógłbyś wyjaśnić co rozumiesz pod pojęciem promienia zbieżności okręgu ??

na szybkości zle przepisałem zadanko promien zbieżności szeregu oczywiscie mój błąd przepraszam ktos sie podejmie??

Co do pierwszego to sumujemy względem \(\displaystyle{ x}\), czy może \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną niezależną dla ciągu funkcji \(\displaystyle{ f_{n}(x) = \frac{1}{3^{x}}}\), który sumujemy po \(\displaystyle{ n}\) ?
W pierwszym wypadku szereg byłby zbieżny, w drugim oczywiście rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\).

A odnośnie promienia zbieżności to mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{\left|\frac{n^{2}}{n^{2} + 1}\right|} = 1}\)
i stąd \(\displaystyle{ R = \frac{1}{1} = 1}\)