Matematyka.pl

witam,

chcialbym prosic o wyjasnienie krok po kroku ponizszego zadania gdyz calkowicie nie mam pojecia jak sobie z nim poradzic (z tego typu zadan mialem tylko szeregi potegowe;/).

okreslic rodzaj zbieznosci ciagu funkcyjnego:

\(\displaystyle{ f_{n}(x)=(-1)^{n}*\frac{2n}{n^2+1} , x\in }\)

z gory dziekuje za pomoc
pozdrawiam

Czy wzór na \(\displaystyle{ f_{n}(x)}\) został przepisany poprawnie? Ten ciąg jest ciągiem funkcji stałych i jest on zbieżny zarówno punktowo jak i jednostajnie...

ojej faktycznie. jest to jedno z zadan z egzaminu i spojrzalem na zly podpunkt. oto poprawny wzor:

\(\displaystyle{ f_{n}(x)=\frac{2x}{n^4+x^3}, x\in}\)

Ciąg ten jest zbieżny jednostajnie, co nietrudno pokazać posługując się definicją jednostajnej zbieżności:

Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i badamy nierówność:
\(\displaystyle{ (*) \quad|f_{n}(x) - f(x)| < \varepsilon}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją graniczną.
W naszym przypadku \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), czyli rozważamy nierówność:
\(\displaystyle{ |f_{n}(x)| < \varepsilon\\
\frac{2x}{n^{4} + x^{3}} < \varepsilon}\)
Przekształcamy ją na równoważne:
\(\displaystyle{ 2x < \varepsilon (n^{4} + x^{3})\\
n^{4} > \tfrac{2x}{\varepsilon} - x^{3}}\)
Zauważmy, że ostatnia nierówność (a więc i równoważna jej nierówność wyjściowa) zachodzi w szczególności, gdy: \(\displaystyle{ n > \sqrt[4]{\frac{2}{\varepsilon}}}\)
Jeśli teraz podłożymy \(\displaystyle{ n_{0} = \left[\sqrt[4]{\tfrac{2}{\varepsilon}}\right] + 1}\)
to dla \(\displaystyle{ n > n_{0}}\) nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) będzie spełniona dla każdego \(\displaystyle{ x [0, 1]}\), czyli z definicji jednostajnej zbieżności ciąg \(\displaystyle{ (f_{n})}\) jest jednostajnie zbieżny.

max dziekuje bardzo . a spytam tylko dla pewnosci - to nasza funkcja graniczna \(\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\rightarrow }f_{n}(x)}\) ??

Tak.