Zbadaj zbieżność punktową i jednostajną

[Dario1]

Zbadaj zbieżność punktową i jednostajną ciągu:

\(\displaystyle{ f _{n}\left( x\right) =f\left( f _{n-1}\left( x\right) \right)}\)
\(\displaystyle{ f _{1}\left( x\right)=\sin x}\)

Pokazać, że ciąg jest zbieżny jednostajnie do zera.

[miodzio1988]

Jakie są zatem problemy w tym zadaniu?

[Premislav]

Hint: tw. Banacha o kontrakcji.

[Dasio11]

A co to jest \(\displaystyle{ f(x)}\) ?

[Dario1]

Nie znam tw. Banacha o kontrakcji. To powinno pójść bez tego.

\(\displaystyle{ f\left( x\right)=\sin x}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) to jest funkcja.

Dasio11 no to chyba wszystko jasne, prawda?

[Premislav]

Dario1, no niedbale to napisałeś.
Można się łatwo domyślić, że chodzi o ciąg superpozycji sinusa, tj.
\(\displaystyle{ f_{1}(x)=\sin x, f_{n+1}(x)=\sin(f_{n}(x))}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\),
ale nie zawadziłaby odrobina staranności.

Bez Banacha to powinno pójść, zaś z Banachem nie bardzo idzie, przecież uniwersalnie nie dostaniemy oszacowania ze stałą mniejszą niż \(\displaystyle{ 1}\), za szybko popatrzyłem.

Najpierw granica punktowa. Ustalmy \(\displaystyle{ x}\). Zauważ, że mamy
\(\displaystyle{ |\sin x| \le \left| x\right|}\) (dowód z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej lub przez rozpisanie i klasyczny dowód nierówności z użyciem rachunku różniczkowego).
Ponadto ciąg \(\displaystyle{ (\left| f_{n}(x)\right|)_{ n \in \NN}}\) jest ograniczony z dołu przez zero.
Stąd łatwo widać, że istnieje \(\displaystyle{ g= \lim_{n \to \infty } \left| f_{n}(x)\right|}\). Ponadto zauważmy, że w takim razie mamy
\(\displaystyle{ g= \lim_{n \to \infty } |f_{n}(x)|= \lim_{n \to \infty }\left| f_{n+1}(x)\right|= \lim_{n \to \infty } \left| \sin(f_{n}(x))\right|}\). Stąd łatwo widać, że \(\displaystyle{ g}\) musi spełniać
\(\displaystyle{ g=\left| \sin(g)\right|}\) z uwagi na ciągłość sinusa.
A rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x=\left| \sin x\right|}\) jest tylko \(\displaystyle{ x=0}\), co jest jakimś rpostym ćwiczeniem z analizy. Stąd \(\displaystyle{ g=0}\) - masz granicę punktową. Teraz weź definicję zbieżności jednostajnej do ręki i zaprezetnuj jakiś wkład własny, najwyżej poprawimy.
A ja idę do monopolowego.
Wykorzystałem fakt, że \(\displaystyle{ f \rightarrow 0 \Leftrightarrow \left| f\right| \rightarrow 0}\), żeby nie babrać się ze znakami sinusa (tj. dla ustalonego \(\displaystyle{ x}\) również znak jest ustalony, ale dla ujemnego znaku może się paprać, np. masz \(\displaystyle{ \sin \frac{3\pi}{2}=-1, a\sin\left( \sin \frac{3\pi}{2} \right)=\sin( -1)=\text{ coś tam ujemnego o module mniejszym niż }1}\), więc tracimy monotoniczność, a tak jest łatwo).

Dario1, naucz się proszę podstaw kultury osobistej. Owszem, miodzio może i mógł darować sobie ten komentarz, ale na niedbałość zapisu trzeba zwracać uwagę (jak to zrobił Dasio11), bo tracisz czas innych ludzi, pisząc niechlujnie (a w dalszej perspetywie takoż tracisz punkty na kolosach, jeśli tak zapisujesz).
Teksty w stylu Twojego ostatniego są dobre dla dzieci z podstawówki i osób z niedorozwojem intelektualnym, więc zastanów się dobrze, czy chcesz być kojarzony z takimi kręgami piekieł.

Normalnie wykasowałbym odpowiedź po tym, co napisałeś, ale skorzystałem z okazji, żeby Cię pouczyć, bo niestety widać u Ciebie wyraźne braki w zakresie dobrego wychowania (nie twierdzę o tym na podstawie jednego postu/wątku), a przychodzisz tu po pomoc, to nie Ty robisz ludziom łaskę, że zamieszczasz tutaj zadanka (zwykle zresztą nietrudne).

-- 17 maja 2016, o 21:03 --

Aha, trzeba coś jeszcze dodać, sinus jest ciągły, wartość bezwzględna jest ciągła, no i złożenie funkcji ciągłych jest ciągłe.

[Dario1]

No właśnie mógł sobie darować. A kto Ci powiedział, że jestem dobrze wychowany? Jestem chamem i prostakiem. Ale wchodzę w jego rolę.