Matematyka.pl

Cześć,
W pewnej książce spotkałam się z taką równością \(\displaystyle{ \frac{1}{A(s+\lambda)^{\alpha}+B(s+\lambda)^{\beta}-A\lambda^{\alpha}-B\lambda^{\beta}+b}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(b-A\lambda^{\alpha}-B\lambda^{\beta})^k}{A^{k+1}}(-1)^k \frac{(s+\lambda)^{-\beta (k+1)}}{[(s+\lambda)^{\alpha-\beta}+B/A]^{k+1}}}\)
Nie wiem, w jaki sposób pojawiła się prawa strona równości. Po rozwinięciu w szereg, ale nie potrafię dojść do takiej postaci.
Pomożecie?

Zacznijmy od rozwinięcia hiperboli.

Nie bardzo wiem o czym mówisz, albo tego czegoś nie miałam albo nie pamiętam

W jaki szereg rozwijasz?

Nie rozwijam, myślałam o szeregu Taylora, ale na pewno nie wyjdzie coś takiego. A nie miałam żadnych innych rozwinięć w szeregi.

Ta tożsamość najwyraźniej wynika ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Trzeba tylko odpowiednią rzecz wyłączyć przed tę sumę po prawej (łatwiej będzie, gdy wyłączysz \(\displaystyle{ \frac{(s+\lambda)^{-\beta}}{A[(s+\lambda)^{\alpha-\beta}+ \frac{B}{A}] }}\)), no i poczynić odpowiednie założenia. Wybacz, ale nie będę tego rozpisywać (a właściwie zwijać), to Twoje zadanie. Znasz wzór na sumę szeregu geometrycznego?

Tylko Ty chcesz udowodnić wzór z prawej do lewej. A chodzi o to, że mając wyrażenie po lewej doszli do prawej. A to chyba nie jest takie oczywiste.

No to relacja równości jest zwrotna, więc...
Zauważenie tego wzoru, gdy ma się tylko to, co jest po lewej, wydaje się praktycznie awykonalne, ale w różnych dowodach często są sztuczki z kosmosu wzięte (np. bardzo przeze mnie "lubiana" nierówność Levy'ego-Ottavianiego), pozostaje się do tego przyzwyczaić i sprawdzić, że jest on prawdziwy, a jak to zrobić, to już napisałem.
Matematyka akademicka to nie tylko dowody głęboko intuicyjne i piękne w swojej prostocie, ale też bardzo często sen szaleńca.

Premislav pisze:Zauważenie tego wzoru, gdy ma się tylko to, co jest po lewej, wydaje się praktycznie awykonalne

No bez przesady. Tak naprawdę to tylko przekształcenie

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - (-1) \cdot \frac{y}{x}} = \frac{1}{x} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{y^k}{x^k} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{y^k}{x^{k+1}}.}\)

A że autor równości postanowił dobrać akurat

\(\displaystyle{ x = A (s+\lambda)^{\alpha} + B(s+\lambda)^{\beta} \\[1ex]
y = b - A \lambda^{\alpha} - B \lambda^b}\)

a w dodatku rozpisać

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} = \frac{1}{A} \cdot \frac{(s+\lambda)^{-\beta}}{ \left[ (s+\lambda)^{\alpha - \beta} + \frac{B}{A} \right] },}\)

to w tym naprawdę nie ma nic szczególnie mądrego, bo takich przekształceń można pisać dziesiątki. Zastanawiać się, jak ktoś do tego doszedł, można jedynie wtedy, kiedy zobaczy się, do czego to losowo wyglądające rozwinięcie jest później wykorzystane.