Rozwinięcie w szereg
-
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozwinięcie w szereg
Cześć,
W pewnej książce spotkałam się z taką równością \(\displaystyle{ \frac{1}{A(s+\lambda)^{\alpha}+B(s+\lambda)^{\beta}-A\lambda^{\alpha}-B\lambda^{\beta}+b}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(b-A\lambda^{\alpha}-B\lambda^{\beta})^k}{A^{k+1}}(-1)^k \frac{(s+\lambda)^{-\beta (k+1)}}{[(s+\lambda)^{\alpha-\beta}+B/A]^{k+1}}}\)
Nie wiem, w jaki sposób pojawiła się prawa strona równości. Po rozwinięciu w szereg, ale nie potrafię dojść do takiej postaci.
Pomożecie?
W pewnej książce spotkałam się z taką równością \(\displaystyle{ \frac{1}{A(s+\lambda)^{\alpha}+B(s+\lambda)^{\beta}-A\lambda^{\alpha}-B\lambda^{\beta}+b}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(b-A\lambda^{\alpha}-B\lambda^{\beta})^k}{A^{k+1}}(-1)^k \frac{(s+\lambda)^{-\beta (k+1)}}{[(s+\lambda)^{\alpha-\beta}+B/A]^{k+1}}}\)
Nie wiem, w jaki sposób pojawiła się prawa strona równości. Po rozwinięciu w szereg, ale nie potrafię dojść do takiej postaci.
Pomożecie?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Rozwinięcie w szereg
Ta tożsamość najwyraźniej wynika ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Trzeba tylko odpowiednią rzecz wyłączyć przed tę sumę po prawej (łatwiej będzie, gdy wyłączysz \(\displaystyle{ \frac{(s+\lambda)^{-\beta}}{A[(s+\lambda)^{\alpha-\beta}+ \frac{B}{A}] }}\)), no i poczynić odpowiednie założenia. Wybacz, ale nie będę tego rozpisywać (a właściwie zwijać), to Twoje zadanie. Znasz wzór na sumę szeregu geometrycznego?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Rozwinięcie w szereg
No to relacja równości jest zwrotna, więc...
Zauważenie tego wzoru, gdy ma się tylko to, co jest po lewej, wydaje się praktycznie awykonalne, ale w różnych dowodach często są sztuczki z kosmosu wzięte (np. bardzo przeze mnie "lubiana" nierówność Levy'ego-Ottavianiego), pozostaje się do tego przyzwyczaić i sprawdzić, że jest on prawdziwy, a jak to zrobić, to już napisałem.
Matematyka akademicka to nie tylko dowody głęboko intuicyjne i piękne w swojej prostocie, ale też bardzo często sen szaleńca.
Zauważenie tego wzoru, gdy ma się tylko to, co jest po lewej, wydaje się praktycznie awykonalne, ale w różnych dowodach często są sztuczki z kosmosu wzięte (np. bardzo przeze mnie "lubiana" nierówność Levy'ego-Ottavianiego), pozostaje się do tego przyzwyczaić i sprawdzić, że jest on prawdziwy, a jak to zrobić, to już napisałem.
Matematyka akademicka to nie tylko dowody głęboko intuicyjne i piękne w swojej prostocie, ale też bardzo często sen szaleńca.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Rozwinięcie w szereg
No bez przesady. Tak naprawdę to tylko przekształceniePremislav pisze:Zauważenie tego wzoru, gdy ma się tylko to, co jest po lewej, wydaje się praktycznie awykonalne
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - (-1) \cdot \frac{y}{x}} = \frac{1}{x} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{y^k}{x^k} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{y^k}{x^{k+1}}.}\)
A że autor równości postanowił dobrać akurat
\(\displaystyle{ x = A (s+\lambda)^{\alpha} + B(s+\lambda)^{\beta} \\[1ex]
y = b - A \lambda^{\alpha} - B \lambda^b}\)
a w dodatku rozpisać
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} = \frac{1}{A} \cdot \frac{(s+\lambda)^{-\beta}}{ \left[ (s+\lambda)^{\alpha - \beta} + \frac{B}{A} \right] },}\)
to w tym naprawdę nie ma nic szczególnie mądrego, bo takich przekształceń można pisać dziesiątki. Zastanawiać się, jak ktoś do tego doszedł, można jedynie wtedy, kiedy zobaczy się, do czego to losowo wyglądające rozwinięcie jest później wykorzystane.