Rozwinięcie w szereg

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwinięcie w szereg

Post autor: zyrafka » 3 mar 2016, o 13:33

Cześć,
W pewnej książce spotkałam się z taką równością \(\displaystyle{ \frac{1}{A(s+\lambda)^{\alpha}+B(s+\lambda)^{\beta}-A\lambda^{\alpha}-B\lambda^{\beta}+b}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(b-A\lambda^{\alpha}-B\lambda^{\beta})^k}{A^{k+1}}(-1)^k \frac{(s+\lambda)^{-\beta (k+1)}}{[(s+\lambda)^{\alpha-\beta}+B/A]^{k+1}}}\)
Nie wiem, w jaki sposób pojawiła się prawa strona równości. Po rozwinięciu w szereg, ale nie potrafię dojść do takiej postaci.
Pomożecie?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7263
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 942 razy

Rozwinięcie w szereg

Post autor: Kartezjusz » 3 mar 2016, o 13:38

Zacznijmy od rozwinięcia hiperboli.

zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwinięcie w szereg

Post autor: zyrafka » 3 mar 2016, o 13:40

Nie bardzo wiem o czym mówisz, albo tego czegoś nie miałam albo nie pamiętam

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7263
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 942 razy

Rozwinięcie w szereg

Post autor: Kartezjusz » 3 mar 2016, o 13:40

W jaki szereg rozwijasz?

zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwinięcie w szereg

Post autor: zyrafka » 3 mar 2016, o 13:47

Nie rozwijam, myślałam o szeregu Taylora, ale na pewno nie wyjdzie coś takiego. A nie miałam żadnych innych rozwinięć w szeregi.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14871
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4926 razy

Rozwinięcie w szereg

Post autor: Premislav » 3 mar 2016, o 14:46

Ta tożsamość najwyraźniej wynika ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Trzeba tylko odpowiednią rzecz wyłączyć przed tę sumę po prawej (łatwiej będzie, gdy wyłączysz \(\displaystyle{ \frac{(s+\lambda)^{-\beta}}{A[(s+\lambda)^{\alpha-\beta}+ \frac{B}{A}] }}\)), no i poczynić odpowiednie założenia. Wybacz, ale nie będę tego rozpisywać (a właściwie zwijać), to Twoje zadanie. Znasz wzór na sumę szeregu geometrycznego?

zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwinięcie w szereg

Post autor: zyrafka » 3 mar 2016, o 16:34

Tylko Ty chcesz udowodnić wzór z prawej do lewej. A chodzi o to, że mając wyrażenie po lewej doszli do prawej. A to chyba nie jest takie oczywiste.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14871
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4926 razy

Rozwinięcie w szereg

Post autor: Premislav » 3 mar 2016, o 16:41

No to relacja równości jest zwrotna, więc...
Zauważenie tego wzoru, gdy ma się tylko to, co jest po lewej, wydaje się praktycznie awykonalne, ale w różnych dowodach często są sztuczki z kosmosu wzięte (np. bardzo przeze mnie "lubiana" nierówność Levy'ego-Ottavianiego), pozostaje się do tego przyzwyczaić i sprawdzić, że jest on prawdziwy, a jak to zrobić, to już napisałem.
Matematyka akademicka to nie tylko dowody głęboko intuicyjne i piękne w swojej prostocie, ale też bardzo często sen szaleńca.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9006
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1940 razy

Rozwinięcie w szereg

Post autor: Dasio11 » 5 mar 2016, o 13:25

Premislav pisze:Zauważenie tego wzoru, gdy ma się tylko to, co jest po lewej, wydaje się praktycznie awykonalne
No bez przesady. Tak naprawdę to tylko przekształcenie

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - (-1) \cdot \frac{y}{x}} = \frac{1}{x} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{y^k}{x^k} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{y^k}{x^{k+1}}.}\)

A że autor równości postanowił dobrać akurat

\(\displaystyle{ x = A (s+\lambda)^{\alpha} + B(s+\lambda)^{\beta} \\[1ex] y = b - A \lambda^{\alpha} - B \lambda^b}\)

a w dodatku rozpisać

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} = \frac{1}{A} \cdot \frac{(s+\lambda)^{-\beta}}{ \left[ (s+\lambda)^{\alpha - \beta} + \frac{B}{A} \right] },}\)

to w tym naprawdę nie ma nic szczególnie mądrego, bo takich przekształceń można pisać dziesiątki. Zastanawiać się, jak ktoś do tego doszedł, można jedynie wtedy, kiedy zobaczy się, do czego to losowo wyglądające rozwinięcie jest później wykorzystane.

ODPOWIEDZ