Matematyka.pl

mam zadanie w którym mam obliczyc sume szeregu zbieznosc umiem udowodnic ale nie wiem njak sume obliczyc
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{2}}{5^{n}}}}\)

Tworzymy szereg potęgowy o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{5^{n}}x^{n - 1}}\), całkujemy go wyraz za wyrazem otrzymując szereg o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ \frac{n}{5^{n}}x^{n}}\)
Wyłączamy \(\displaystyle{ x}\) przed sumę i znów powołujemy się na twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego wyraz za wyrazem otrzymując szereg geometryczny, który łatwo sumujemy ze wzoru, i jego zwartą postać poddajemy działaniom odwrotnym do dokonanych w odpowiedniej kolejności, tzn:
różniczkujemy, mnożymy przez wybebeszony wcześniej \(\displaystyle{ x}\) i jeszcze raz różniczkujemy. Na końcu wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x = 1}\) i voila, mamy szukaną sumę.