zbadaj zbieznosc punktowa i jednostajna ciagu funkcyjnego okreslonego na liczbach rzeczywistych
\(\displaystyle{ F_{n}= \frac{x}{1+n^2 x^2}}\)
nie rozumiem na czym polega zbieznosc punktowa a na czym jednostajna:( moze umiecie to wytlumaczyc takim prostym jezykiem i podac krok po kroku co trzeba robic. Dziekuje
Poprawiam zapis w LaTeXu. Calasilyar
zbieznosc punktowa i jednostajna
-
rafalmistrz
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 16 kwie 2007, o 22:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: bielsk
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 2 razy
zbieznosc punktowa i jednostajna
Ostatnio zmieniony 23 sie 2007, o 15:36 przez rafalmistrz, łącznie zmieniany 2 razy.
-
alia
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 23 razy
zbieznosc punktowa i jednostajna
W skrócie mówiąc:
a)punktowa zbieżność
obliczasz funkcję graniczną \(\displaystyle{ F(x)}\) dla ciągu \(\displaystyle{ F_n}\) gdy \(\displaystyle{ n\to }\), w twoim przykładzie
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }{\frac{x}{1+n^2x^2}=0}\)
więc funkcja graniczna \(\displaystyle{ F(x)=0}\)
b)zbieżność jednostajna
obliczasz supremum po \(\displaystyle{ x\in R}\) (lub po x należących do przedziału zbieżności, u Ciebie to akurat \(\displaystyle{ R}\)) dla funkcji \(\displaystyle{ |F_{n}(x)-F(x)|}\) i dla otrzymanego supremum liczysz granicę przy \(\displaystyle{ n\to }\); jeśli ta granica wyjdzie 0, to oznacza że ciąg \(\displaystyle{ F_{n}}\) zbiega jednostajnie do funkcji granicznej \(\displaystyle{ F}\).
Wystarczy więc policzyć
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\sup_{x\in R} |\frac{x}{1+n^2x^2}|)}\)
Aby znaleźć supremum można policzyć ekstremum funkcji w wartości bezwzględnej, pochodna jest równa \(\displaystyle{ \frac{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}}\),a maksimum osiągane dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{n}}\), stąd
\(\displaystyle{ sup|F_n-F|\leq \frac{\frac{1}{n}}{1+n^2(\frac{1}{n})^2}=\frac{1}{2n}}\)
Pozostaje do obliczenia granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}{\frac{1}{2n}}=0}\)
czyli ciąg jest zbieżny jednostajnie.
a)punktowa zbieżność
obliczasz funkcję graniczną \(\displaystyle{ F(x)}\) dla ciągu \(\displaystyle{ F_n}\) gdy \(\displaystyle{ n\to }\), w twoim przykładzie
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }{\frac{x}{1+n^2x^2}=0}\)
więc funkcja graniczna \(\displaystyle{ F(x)=0}\)
b)zbieżność jednostajna
obliczasz supremum po \(\displaystyle{ x\in R}\) (lub po x należących do przedziału zbieżności, u Ciebie to akurat \(\displaystyle{ R}\)) dla funkcji \(\displaystyle{ |F_{n}(x)-F(x)|}\) i dla otrzymanego supremum liczysz granicę przy \(\displaystyle{ n\to }\); jeśli ta granica wyjdzie 0, to oznacza że ciąg \(\displaystyle{ F_{n}}\) zbiega jednostajnie do funkcji granicznej \(\displaystyle{ F}\).
Wystarczy więc policzyć
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\sup_{x\in R} |\frac{x}{1+n^2x^2}|)}\)
Aby znaleźć supremum można policzyć ekstremum funkcji w wartości bezwzględnej, pochodna jest równa \(\displaystyle{ \frac{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}}\),a maksimum osiągane dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{n}}\), stąd
\(\displaystyle{ sup|F_n-F|\leq \frac{\frac{1}{n}}{1+n^2(\frac{1}{n})^2}=\frac{1}{2n}}\)
Pozostaje do obliczenia granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}{\frac{1}{2n}}=0}\)
czyli ciąg jest zbieżny jednostajnie.