Witam,
na ćwiczeniach została policzona pochodna pierwszego rzędu i drugiego szeregu \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty }a_it^i}\). Ale wydaje mi się, że w sposób nie poprawny bo lewa strona nie równa się lewej. Czy moglibyście sprawdzić?
\(\displaystyle{ x(t)=\sum_{i=0}^{ \infty }a_it^i}\)
\(\displaystyle{ 1) x'(t)=\sum_{i=0}^{ \infty }ia_it^{i-1}=\sum_{i=0}^{ \infty }(i+1)a_{i+1}t^i}\)
\(\displaystyle{ 2) x''(t)=\sum_{i=0}^{ \infty }i(i-1)a_it^{i-1}=\sum_{i=1}^{ \infty }(i+1)(i+2)a_{i+2}t^i}\)
Teraz na przykład jeśli wybierzemy \(\displaystyle{ 2)}\) szereg to pierwszy wyraz po lewej jest równy \(\displaystyle{ 0}\) zaś po prawej \(\displaystyle{ 6a_{i+2}}\).
Jak powinno być poprawnie, bo już się pogubiłam?
Pochodna szeregu.
-
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 10 sty 2012, o 13:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krak
- Podziękował: 40 razy
- kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Pochodna szeregu.
Powinno być
\(\displaystyle{ 1) x'(t)=\sum_{i=1}^{ \infty }ia_it^{i-1}=\sum_{i=0}^{ \infty }(i+1)a_{i+1}t^i}\)
Czyli pod pierwszą sumą powinno być \(\displaystyle{ i=1}\) a nie \(\displaystyle{ i=0}\) - chyba źle przepisałeś. Wynik końcowy jest dobry.
\(\displaystyle{ 2) x''(t)=\sum_{i=2}^{ \infty }i(i-1)a_it^{i-2}=\sum_{i=0}^{ \infty }(i+1)(i+2)a_{i+2}t^i}\)
Czyli pod pierwszą sumą \(\displaystyle{ i=2}\) i potęga \(\displaystyle{ i-2}\) a w wyniku pod sumą \(\displaystyle{ i=0}\)
\(\displaystyle{ 1) x'(t)=\sum_{i=1}^{ \infty }ia_it^{i-1}=\sum_{i=0}^{ \infty }(i+1)a_{i+1}t^i}\)
Czyli pod pierwszą sumą powinno być \(\displaystyle{ i=1}\) a nie \(\displaystyle{ i=0}\) - chyba źle przepisałeś. Wynik końcowy jest dobry.
\(\displaystyle{ 2) x''(t)=\sum_{i=2}^{ \infty }i(i-1)a_it^{i-2}=\sum_{i=0}^{ \infty }(i+1)(i+2)a_{i+2}t^i}\)
Czyli pod pierwszą sumą \(\displaystyle{ i=2}\) i potęga \(\displaystyle{ i-2}\) a w wyniku pod sumą \(\displaystyle{ i=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 10 sty 2012, o 13:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krak
- Podziękował: 40 razy
Pochodna szeregu.
Tak myślałam że tak powinno być... Taka wersje
znalazłam na kserowkach z ćwiczeń... Dziękuję za rozwianie wątpliwości...
znalazłam na kserowkach z ćwiczeń... Dziękuję za rozwianie wątpliwości...