Pochodna szeregu.

[xxmonikaxx]

Witam,

na ćwiczeniach została policzona pochodna pierwszego rzędu i drugiego szeregu \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty }a_it^i}\). Ale wydaje mi się, że w sposób nie poprawny bo lewa strona nie równa się lewej. Czy moglibyście sprawdzić?

\(\displaystyle{ x(t)=\sum_{i=0}^{ \infty }a_it^i}\)
\(\displaystyle{ 1) x'(t)=\sum_{i=0}^{ \infty }ia_it^{i-1}=\sum_{i=0}^{ \infty }(i+1)a_{i+1}t^i}\)
\(\displaystyle{ 2) x''(t)=\sum_{i=0}^{ \infty }i(i-1)a_it^{i-1}=\sum_{i=1}^{ \infty }(i+1)(i+2)a_{i+2}t^i}\)

Teraz na przykład jeśli wybierzemy \(\displaystyle{ 2)}\) szereg to pierwszy wyraz po lewej jest równy \(\displaystyle{ 0}\) zaś po prawej \(\displaystyle{ 6a_{i+2}}\).
Jak powinno być poprawnie, bo już się pogubiłam?

[kropka+]

Powinno być

\(\displaystyle{ 1) x'(t)=\sum_{i=1}^{ \infty }ia_it^{i-1}=\sum_{i=0}^{ \infty }(i+1)a_{i+1}t^i}\)

Czyli pod pierwszą sumą powinno być \(\displaystyle{ i=1}\) a nie \(\displaystyle{ i=0}\) - chyba źle przepisałeś. Wynik końcowy jest dobry.

\(\displaystyle{ 2) x''(t)=\sum_{i=2}^{ \infty }i(i-1)a_it^{i-2}=\sum_{i=0}^{ \infty }(i+1)(i+2)a_{i+2}t^i}\)

Czyli pod pierwszą sumą \(\displaystyle{ i=2}\) i potęga \(\displaystyle{ i-2}\) a w wyniku pod sumą \(\displaystyle{ i=0}\)

[xxmonikaxx]

Tak myślałam że tak powinno być... Taka wersje
znalazłam na kserowkach z ćwiczeń... Dziękuję za rozwianie wątpliwości...