Matematyka.pl

Witajcie,

polecenie do zadania brzmi tak: Rozwiń w szereg Laurenta funkcję: \(\displaystyle{ f(z)=\frac{z}{z-i}}\) wokół punktu \(\displaystyle{ z=1}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ |z-1|<\sqrt{2}}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ \frac{z}{z-i} = z \frac{1}{z-1-i+1} = \frac{z}{z-1} \frac{1}{1-\frac{i-1}{z-1}}}\). Teraz teoretycznie drugi składnik powinienem rozwijać korzystając z własności szeregu geometrycznego. Moduł mojego ilorazu wynosi: \(\displaystyle{ \left| \frac{i-1}{z-1} \right|=\frac{\sqrt{2}}{|z-1|}}\) i to musi być mniejsze od jedynki. Z drugiej strony w moim pierścieniu mam: \(\displaystyle{ \frac{|z-1|}{\sqrt{2}}<1}\) czyli odwrotność jest większa od jedynki. Zatem nie mogę tego rozwijać szeregiem geometrycznym. Nie mam pomysłu co dalej z tym zrobić. Do rozwiązania zadania trzeba podać pierwsze cztery wyrazy rozwinięcia.

No to trzeba podzielić na odwrót:

\(\displaystyle{ \frac{1}{z-1-i+1} = \frac{1}{1-i} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-1}{i-1}}.}\)

Teraz \(\displaystyle{ \left| \frac{z-1}{i-1} \right| < 1,}\) więc można rozwinąć.

Rozumiem. Tylko teraz nurtuje mnie to \(\displaystyle{ z}\) w liczniku. Rozwijając w szereg geometryczny mam: \(\displaystyle{ \frac{z}{1-i} \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right) ^2+ \ldots \right)}\). Rozwijanie ma być koło jedynki, jedyne co mi przyszło na myśl to: \(\displaystyle{ \frac{z-1+1}{1-i} \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right) ^2+ \ldots \right)}\) i rozbicie pierwszego czynnika na dwa ułamki. Tylko później jak to składam do kupy to nie wychodzi to co powinno. Może ktoś pokazać?

Powinno wyjść.

\(\displaystyle{ \frac{z-1+1}{1-i} \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right)^2+ \ldots \right) = \\[1ex]
\frac{1}{1-i} \left[ (z-1) \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right)^2+ \ldots \right) + \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right) ^2+ \ldots \right) \right] = \\[2ex]
\frac{1}{i-1} + \frac{i}{(i-1)^2} \cdot (z-1) + \frac{i}{(i-1)^3} \cdot (z-1)^2 + \ldots = \frac{1}{1-i} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i}{(i-1)^{n+1}} \cdot (z-1)^n.}\)

Super, mi też tak wyszło, tylko musiałem źle wzór końcowy zapisać. Dzięki za pomoc.