Funkcja dzetaRiemanna

[tadu983]

Jeżeli funkcja dzeta Riemanna jest zdefiniowana tak:
\(\displaystyle{ {\zeta}( s ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^s}\)
to dlaczego prawdą jest ,że:
\(\displaystyle{ {\zeta}( s )=\sum_{p \in \\P} \frac{1}{1- \frac{1}{p^s} }}\) ?

[a4karo]

Nie \(\displaystyle{ {\zeta}( s )=\sum_{p \in \\P} \frac{1}{1- \frac{1}{p^s} }}\) lecz \(\displaystyle{ {\zeta}( s )=\prod_{p \in \\P} \frac{1}{1- \frac{1}{p^s} }}\)

Wzór ten wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{1}{p^s} }=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{(p^2)^s}+\frac{1}{(p^3)^s}\dots}\) i z jednoznaczności rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Jesteś w stanie to zweryfikować (na dzień dobry nie przejmuj się kwestiami zbieżności tego produktu).

[Jarmil]

a4karo... przypuszczam że chodziło mu o to żeby to pokazać, może nawet specjalnie zrobił błąd
usunięto
Można to pokazać tak:

\(\displaystyle{ {\zeta}( s )(1- \frac{1}{2^s})(1- \frac{1}{3^s})=1+\frac{1}{5^s}+...}\)

Chodzi o to że przemnażając każdy tak wyglądający nawias, mnożymy całą funkcje dżeta razy 1(po przemnożeniu da nam całą funkcję dżeta po pierwszym mnożeniu) i \(\displaystyle{ -\frac{1}{p^s}}\) gdzie p to kolejne liczby pierwsze, potem to co zostanie znowu mnożymy razy jeden i kolejna liczba pierwsza... w ten sposób eliminujemy wielokrotności kolejnych liczb pierwszych z sumy funkcji dżeta, w końcu, kiedy przejdziemy wszystkie liczby pierwsze, a że każda liczba naturalna to jakiś iloczyn liczb pierwszych, to zredukujemy wszystkie inne liczby poza 1(za każdym razem w nawiasie jest dodatnia 1), co można właśnie zapisać:

\(\displaystyle{ {\zeta}( s )\prod_{p \in \\P}\left( 1- \frac{1}{p^s}\right) =1}\)
z tego dostajemy:
\(\displaystyle{ {\zeta}( s )=\prod_{p \in \\P} \frac{1}{1- \frac{1}{p^s} }}\)

-- 25 sie 2014, o 20:48 --

O funkcji dżeta, polecam to opracowanie:

Kod: Zaznacz cały

http://gamma.im.uj.edu.pl/~blocki/pmd/pm-gwizdz.pdf

[tadu983]

Wzór z sumą był zamieszczony w poniższej pracy magisterskiej:

Kod: Zaznacz cały

http://gamma.im.uj.edu.pl/~blocki/pmd/pm-gwizdz.pdf

ale jest tam po prostu błąd i zamiast sumy powinien być iloczyn .Dzięki .

[Jarmil]

No ale z tamtego zapisu wynika że chodzi o iloczyn.