Zbieżność szeregu funkcyjnego

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
trzebiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 214
Rejestracja: 29 kwie 2010, o 18:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 74 razy

Zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: trzebiec »

Hej, mam problem z takim szeregiem.
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{\infty} n!x^{n}}\)

Badam zbieżność z k. d'Alemberta.

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left| \frac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^{n}} \right| = \lim_{ n\to \infty } |(n+1)x|}\)
I teraz zbiezność. Szereg bd. zbieżny kiedy ta granica będzie \(\displaystyle{ <1}\). Jako, że n dąży do nieskończoności to on jest zbieżny tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\)? W innym wypadku będzie rozbieżny?
Z góry dzięki za odpowiedź.
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

Zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: waliant »

jest to szereg potęgowy, więc oblicz promień zbieżności ze wzoru, jeśli wyjdzie przedział, to zbadaj co się dzieje na krańcach.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: Dasio11 »

trzebiec pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left| \frac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^{n}} \right| = \lim_{ n\to \infty } |(n+1)x|}\)
Szereg bd. zbieżny kiedy ta granica będzie \(\displaystyle{ <1}\). Jako, że n dąży do nieskończoności to on jest zbieżny tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\)? W innym wypadku będzie rozbieżny?
Twój wniosek jest poprawny.
ODPOWIEDZ