Zbieżość szeregu z x w potędze

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Zbieżość szeregu z x w potędze

Post autor: Poszukujaca »

Jak zbadać zbieżność takiego szeregu?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} ne^{-3nx}}\)
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Zbieżość szeregu z x w potędze

Post autor: klaustrofob »

dla \(\displaystyle{ x\le 0}\) jest rozbieżny (nie spełnia warunku koniecznego). dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest zbieżny punktowo na mocy kryterium Cauchy'ego. czy zbieżność jest jednostajna? nie - skorzystamy z warunku: szereg jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy jego reszty \(\displaystyle{ S_k(x)=\sum_{n=k}^{\infty}a_n(x)}\) zbiegają jednostajnie (po \(\displaystyle{ k}\)) do zera (tj. do funkcji zerowej). w naszym przypadku reszty wyglądają tak: \(\displaystyle{ S_k(x)=\sum_{n=k}^{\infty} ne^{-3nx}}\). wystarczy wziąć \(\displaystyle{ x_0=\frac{1}{3k}}\), żeby zobaczyć, że \(\displaystyle{ S_k(x_0)\ge ke^{-1}}\) (bo wyrazy szeregu są funkcjami dodatnimi), co wyklucza zbieżność jednostajną do 0.
Awatar użytkownika
elbargetni
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 189
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Zbieżość szeregu z x w potędze

Post autor: elbargetni »

Czy na pewno ta nierówność \(\displaystyle{ S_k(x_0)\ge ke^{-1}}\) jest prawdziwa?
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Zbieżość szeregu z x w potędze

Post autor: klaustrofob »

pierwszy wyraz tej sumy wygląda tak: \(\displaystyle{ k\cdot e^{-3k\frac{1}{3k}}}\), a pozostałe są nieujemne
ODPOWIEDZ