Jak zbadać zbieżność takiego szeregu?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} ne^{-3nx}}\)
Zbieżość szeregu z x w potędze
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Zbieżość szeregu z x w potędze
dla \(\displaystyle{ x\le 0}\) jest rozbieżny (nie spełnia warunku koniecznego). dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest zbieżny punktowo na mocy kryterium Cauchy'ego. czy zbieżność jest jednostajna? nie - skorzystamy z warunku: szereg jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy jego reszty \(\displaystyle{ S_k(x)=\sum_{n=k}^{\infty}a_n(x)}\) zbiegają jednostajnie (po \(\displaystyle{ k}\)) do zera (tj. do funkcji zerowej). w naszym przypadku reszty wyglądają tak: \(\displaystyle{ S_k(x)=\sum_{n=k}^{\infty} ne^{-3nx}}\). wystarczy wziąć \(\displaystyle{ x_0=\frac{1}{3k}}\), żeby zobaczyć, że \(\displaystyle{ S_k(x_0)\ge ke^{-1}}\) (bo wyrazy szeregu są funkcjami dodatnimi), co wyklucza zbieżność jednostajną do 0.
- elbargetni
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Zbieżość szeregu z x w potędze
Czy na pewno ta nierówność \(\displaystyle{ S_k(x_0)\ge ke^{-1}}\) jest prawdziwa?
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Zbieżość szeregu z x w potędze
pierwszy wyraz tej sumy wygląda tak: \(\displaystyle{ k\cdot e^{-3k\frac{1}{3k}}}\), a pozostałe są nieujemne