Szereg liczbowy z cosnx

[johanneskate]

Czy funkcja \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{n ^{3} }}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) ?

Próbowałem znaleźć w tym szereg Fouriera oraz różniczkować/całkować kilka razy żeby otrzymać sumę czegoś, co znam, ale nie udało mi się to. Jakieś wskazówki ?

[brzoskwinka1]

Oznaczmy, \(\displaystyle{ \xi (\sigma ) = \sum_{j=1}^{\infty} j^{-3} \cos (2j\sigma ) .}\) Ponieważ, szereg \(\displaystyle{ \zeta (\sigma ) =-2\sum_{j=1}^{\infty} j^{-2} \sin (2j\sigma )}\) jest jednostajnie zbieżny, więc \(\displaystyle{ \zeta}\) jest funkcją ciągłą oraz \(\displaystyle{ \xi ' =\zeta.}\)