całka z dokładnością

[mlp99]

Witam.
Muszę obliczyć z dokładnością do \(\displaystyle{ 10 ^{-4}}\) całkę \(\displaystyle{ \int_{o}^{ \frac{1}{4} } \frac{\sin x}{ \sqrt{x} } dx}\)

zastosowałem podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{x} =t}\), otzymałem \(\displaystyle{ \int_{o}^{ \frac{1}{2} }\sin(t ^{2})dt}\) i rozwinąłem funkcję podcałkową w szereg:

\(\displaystyle{ \sin(t ^{2})= \sum_{n=0}^{ \infty } (-1) ^{n} \frac{t ^{4n+2} }{(2n+1)!}}\)
I teraz muszę zastosować twierdzenie o całkowaniu i różniczkowaniu szeregu potęgowego.

Czy mógłby ktoś rozpisać ten przykład i napisać kiedy stosuje się różniczkowanie a kiedy całkowanie szeregu?

[bartek118]

Podstaw ten szereg do tej całki i wejdź z całką pod sumę (tutaj można to zrobić, dlaczego?)