Rozwinac funkcje w szereg Fouriera

[eweelinus75]

Pomoże ktoś, bo nigdy nie miałam szeregów Fouriera a teraz dostałam to na egzaminie poprawkowym:(

Niech \(\displaystyle{ f(x)=|x|\text{ dla } x \in \left[ -\pi,\pi \right]}\) oraz niech będzie funkcja o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\) . Rozwiń tę funkcję w szereg Fouriera. Korzystając z otrzymanego rozwinięcia pokaż, że

\(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{ 3^{2} }+ \frac{1}{ 5^{2} } + \frac{1}{ 7^{2} } + ... = \frac{ \pi^{2} }{8}}\)

[Dasio11]

Znasz wzory na współczynniki rozwinięcia?

[eweelinus75]

umie ktos to zrobic? Bo na poniedzialek jest mi potrzebne:(

[Dasio11]

Eh. Te wzory to:

\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \mbox dx \\ \\
b_n = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \mbox dx}\)

Spróbuj obliczyć te całki.

[eweelinus75]

co z tego ze ja policze jak nie wiem po co:( nie mam pojecia o co chodzi, czytalam troche ale nic nie dalo. Najlepiej zeby ktos zrobil i wytlumaczyl krok po kroku.

-- 14 wrz 2012, o 03:37 --

z tego co udalo mi sie wywnioskowac to \(\displaystyle{ b_n}\) jest rowne \(\displaystyle{ 0,}\) bo \(\displaystyle{ f}\) jest parzysta.

[Gacuteek]

Jak policzysz współczynniki to będziesz znała rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera.
Aby pokazać końcówkę zadania skorzystaj z tożsamości Parsevala.

[eweelinus75]

nie wiem czemu \(\displaystyle{ a_0}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ f}\) jest parzysta, więc

\(\displaystyle{ \int \limits_{-\pi}^0 f(x) \cos(nx) \mbox dx = \int \limits_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) \mbox dx,}\)

czyli

\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \mbox dx = \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^0 f(x) \cos(nx) \mbox dx + \frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) \mbox dx = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) \mbox dx = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} x \cos(nx) \mbox dx.}\)

Dla \(\displaystyle{ n=0}\) masz

\(\displaystyle{ a_0 = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} x \mbox dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \pi.}\)

Spróbuj policzyć dla pozostałych \(\displaystyle{ n.}\) Da się przez części.

[eweelinus75]

proszę, niech ktos zrobi te zad bo potrzebne mi jest na poniedzialek na zaliczenie, a sama tego nie zrobie..

-- 16 wrz 2012, o 10:34 --

\(\displaystyle{ f(x) \sim \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n-2}{\pi n^2} \cos nx}\)
Dobrze wyszlo?

[Dasio11]

Dobrze.

[eweelinus75]

i dalej

\(\displaystyle{ |x|= \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \left( \cos x+ \frac{\cos 3x}{3^2} + \frac{\cos 5x}{5^2} + ... \right)}\)

i jak z tego przejsc aby pokazac tamta rownosc? nie wiem co zrobic z tymi cosinusami.

[Dasio11]

Sprawdź, jak wygląda ta równość w szczególnym przypadku \(\displaystyle{ x=0.}\)

[eweelinus75]

no wlasnie w zerze tylko pasuje. Ale moge tak sobie obojetnie jaki x wziac?