Różniczkowalność sumy szeregu

[binaj]

Wykazać, że wzór:

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(x-n sin \frac{x}{n})}\)

określa funkcję różniczkowalną na prostej \(\displaystyle{ \mathbb{R}.}\)

[Majeskas]

302056.htm#p4944132

[smigol]

Weź przedział \(\displaystyle{ [a,b]}\), pokaż, że na tym przedziale szereg jest różniczkowalny (z tw. 12.11 w skrypcie pana Michała powinno pójść, tam jest dla ciągów, ale dla szeregów jest to samo), z dowolności przedziału mamy, że szereg jest różniczkowalny na R.