Wyznaczyć przedziały zbieżności następującego szeregu :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sqrt{ n^{2} + 2 } - n }{ 3^{n} } \left( x-1\right) ^{n}}\)
Zbieżność szeregu.
-
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
Zbieżność szeregu.
No to trzeba policzyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{ \sqrt{ n^{2} + 2 } - n }{ 3^{n} } }}\)
przyda się takie przekształcenie wynikające ze wzoru na różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ \sqrt{ n^{2} + 2 } - n = \frac{n^2+2-n^2}{ \sqrt{n^2+2} + n }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{ \sqrt{ n^{2} + 2 } - n }{ 3^{n} } }}\)
przyda się takie przekształcenie wynikające ze wzoru na różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ \sqrt{ n^{2} + 2 } - n = \frac{n^2+2-n^2}{ \sqrt{n^2+2} + n }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 27 lut 2012, o 21:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Zbieżność szeregu.
No to dochodzę do czegoś takiego :
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sup \frac{ \sqrt[n]{2} }{3 \cdot \left( \sqrt{ n^{2}+2 } + n \right) ^{ \frac{1}{n} } }}\)
I jaka będzie tego granica ?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sup \frac{ \sqrt[n]{2} }{3 \cdot \left( \sqrt{ n^{2}+2 } + n \right) ^{ \frac{1}{n} } }}\)
I jaka będzie tego granica ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
Zbieżność szeregu.
Pytanie powinno być czemu ta granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Ale to już powinnaś wiedzieć co i jak.
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 27 lut 2012, o 21:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Zbieżność szeregu.
No ale sęk w tym, że w odp. mam \(\displaystyle{ R = left[ -2 ; 4
ight)}\)
\(\displaystyle{ R}\) to przedział zbieżności szeregu.
To skąd to ? :/ ?
ight)}\)
\(\displaystyle{ R}\) to przedział zbieżności szeregu.
To skąd to ? :/ ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
Zbieżność szeregu.
A no stąd że promień zbieżności tego szeregu to w tym przypadku odwrotność granicy którą liczyliśmy czyli w naszym przypadku promień zbieżności to 3. Środkiem koła zbieżności jest liczba \(\displaystyle{ x_0=1}\) bo tam zeruje się wyrażenie \(\displaystyle{ (x-1)^n}\). Zatem nasz szereg jest zbieżny w kole o środku w punkcie 1 i promieniu 3, czyli wychodzi to co powinno.