Wzór Maclaurina i przybliżenie błędu (czy dobrze?)

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
MuniekMg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 29 sty 2012, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Wzór Maclaurina i przybliżenie błędu (czy dobrze?)

Post autor: MuniekMg »

Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{1+x}}\) napisać wzór Maclaurina z resztą \(\displaystyle{ R_{5}}\).
Korzystając z tego wzoru obliczyć przybliżoną wartość \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i oszacować błąd tego przybliżenia.

Czy dobrze rozwiązałem?
\(\displaystyle{ f(0)=1}\)

\(\displaystyle{ f '(0)= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ f ''(0)= -\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ f '''(0)= \frac{3}{8}}\)

\(\displaystyle{ f ''''(0)= -\frac{15}{16}}\)

\(\displaystyle{ f '''''(0)=\frac{105}{32}}\)

więc wzór będzie wyglądał tak:

\(\displaystyle{ T=1+ \frac{x}{2}-\frac{x ^{2} }{8}+\frac{ 3x^{3} }{48}-\frac{15x ^{4} }{384}+R _{5}}\)


czy dobrze to jest zrobione?
I jak obliczyć ta przybliżoną wartość i błąd?
Jeśli nie to mógłby mi ktoś wytłumaczyć co jest źle i jak napisać poprawnie?
Ostatnio zmieniony 19 sty 2021, o 20:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
pawellogrd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 844
Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 156 razy

Wzór Maclaurina i przybliżenie błędu (czy dobrze?)

Post autor: pawellogrd »

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt{1+x} = \sqrt{2}}\) dla \(\displaystyle{ x=1}\) więc przybliżoną wartość obliczysz podstawiając \(\displaystyle{ x=1}\) do wzoru, który napisałeś tylko bez tej reszty \(\displaystyle{ R_{5}}\).

Błąd przybliżenia oszacujesz poprzez sprawdzenie od czego jest mniejsza wartość bezwzględna z reszty. Czyli \(\displaystyle{ \left| R_{5}\right| = \left| \frac{f^{(V)} (c)}{5!} x^5 \right| = \left| \frac{\frac{105}{32 \sqrt{(c+1)^9}}}{120}x^5\right| = \left| \frac{7}{256\sqrt{(c+1)^9}} x^5 \right| < \frac{7}{256}}\) bo \(\displaystyle{ c}\) leży pomiędzy 0, a x, więc \(\displaystyle{ c \in \left( 0, 1 \right)}\) zaś \(\displaystyle{ x=1}\)

Więc błąd przybliżenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{7}{256}}\)
MuniekMg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 29 sty 2012, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Wzór Maclaurina i przybliżenie błędu (czy dobrze?)

Post autor: MuniekMg »

Aaaaaa teraz rozumiem, dziękuje bardzo
Mam jeszcze jedno pytanie:
Znam wzór ogólny na błąd przybliżenia to:
\(\displaystyle{ R _{n} = \frac{f ^{n}(c) }{n!}\cdot(x-c) ^{n}}\)

Jako, że \(\displaystyle{ C \in \left\langle 0;x\right\rangle}\) czyli od \(\displaystyle{ \left\langle 0;1\right\rangle}\) to my sobie dla łatwości obliczeń przyjmujemy \(\displaystyle{ c=0}\), tak?

-- 30 sty 2012, o 20:17 --

Up
Ostatnio zmieniony 19 sty 2021, o 20:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
pawellogrd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 844
Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 156 razy

Wzór Maclaurina i przybliżenie błędu (czy dobrze?)

Post autor: pawellogrd »

Nie dla łatwości obliczeń, ale dlatego, że \(\displaystyle{ c}\) jest w mianowniku i zauważ, że im mniejsze \(\displaystyle{ c}\), tym większy jest cały ułamek, a my chcemy sprawdzić od czego on będzie mniejszy, więc bierzemy maksymalną wartość tego ułamka A skoro \(\displaystyle{ c \in \left( 0, 1\right)}\) (otwarty przedział - zwróć na to uwagę, bo \(\displaystyle{ c}\) jest większe od zera, a mniejsze od \(\displaystyle{ x}\)) to jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ c=0}\) to ułamek będzie miał wartość największą (zwróć uwagę, że gdyby przyjąć, np. \(\displaystyle{ c=-5}\) to ułamek miałby mniejszą wartość, bo wszystko jest pod wartością bezwzględną, dlatego im bliżej zera, tym bardziej zwiększamy ułamek).
CaffeeLatte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 mar 2020, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wzór Maclaurina i przybliżenie błędu (czy dobrze?)

Post autor: CaffeeLatte »

pawellogrd pisze: 30 sty 2012, o 14:30 Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt{1+x} = \sqrt{2}}\) dla \(\displaystyle{ x=1}\) więc przybliżoną wartość obliczysz podstawiając \(\displaystyle{ x=1}\) do wzoru, który napisałeś tylko bez tej reszty \(\displaystyle{ R_{5}}\).

Błąd przybliżenia oszacujesz poprzez sprawdzenie od czego jest mniejsza wartość bezwzględna z reszty. Czyli \(\displaystyle{ \left| R_{5}\right| = \left| \frac{f^{(V)} (c)}{5!} x^5 \right| = \left| \frac{\frac{105}{32 \sqrt{(c+1)^9}}}{120}x^5\right| = \left| \frac{7}{256\sqrt{(c+1)^9}} x^5 \right| < \frac{7}{256}}\) bo \(\displaystyle{ c}\) leży pomiędzy 0, a x, więc \(\displaystyle{ c \in \left( 0, 1 \right)}\) zaś \(\displaystyle{ x=1}\)

Więc błąd przybliżenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{7}{256}}\)
Mam pytanie do tego zadania, wartość przybliżoną obliczę poprzed wstawienie x=1 do wzoru ale też muszę wstawić x=1 do tej reszty w tym wzorze?
ODPOWIEDZ