Funkcję \(\displaystyle{ \frac{1}{x-2}}\) rozwinąć w szereg Taylora w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = 3}\) Określić obszar zbieżności, obliczyć \(\displaystyle{ f^{(8)}(3)}\)
Czy mógłby mi ktoś pokazać jak to się robi? To moje pierwsze zetknięcie z zadaniem tego typu.
Funkcję rozwinąć w szereg Taylora.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Funkcję rozwinąć w szereg Taylora.
W tym przypadku możesz skorzystać ze zwyczajnego wzoru na sumę ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-(-(x-3))} = \sum_{n=0}^{\infty} (-(x-3))^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-3)^n = \\ \\ = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-3)^n}\)
Otrzymany szereg jest zbieżny na przedziale \(\displaystyle{ |x-3|<1.}\)
Ponadto,
\(\displaystyle{ a_8=\frac{f^{(8)}(3)}{8!},}\)
skąd łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ f^{(8)}(3).}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-(-(x-3))} = \sum_{n=0}^{\infty} (-(x-3))^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-3)^n = \\ \\ = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-3)^n}\)
Otrzymany szereg jest zbieżny na przedziale \(\displaystyle{ |x-3|<1.}\)
Ponadto,
\(\displaystyle{ a_8=\frac{f^{(8)}(3)}{8!},}\)
skąd łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ f^{(8)}(3).}\)
-
gobi12
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 6 razy
Funkcję rozwinąć w szereg Taylora.
A czy gdybym to robił krok po kroku, czyli tak(tutaj na przykładzie innej funkcji, która mam rozwinąć, tym razem w szereg Maclurina):
\(\displaystyle{ f(x)=sinh(x) \\
f^{(0)}=sinh \ \ \ \ \ \ f^{(0)}(0)=0 \\
f^{(I)}=cosh \ \ \ \ \ \ f^{(I)}(0)=1 \\
f^{(II)}=sinh \ \ \ \ \ \ f^{(II)}(0)=0 \\
f^{(III)}=cosh \ \ \ \ \ \ f^{(III)}(0)=1 \\
f^{(IV)}=sinh \ \ \ \ \ \ f^{(IV)}(0)=0 \\}\)
\(\displaystyle{ f(x)=0+ \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^{2}+ \frac{1}{3!}x^{3}+...= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\}\)
Teraz sprawdzam sobie promień i obszar zbieżności:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{1}{(2n+3)!} \frac{(2n+1)!}{1}) = \frac{1}{4} \\
\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(2n+1)!} (-4)^{2n+1} \\
\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(2n+1)!} (4)^{2n+1} \\}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{4^{2n+3}}{(2n+3)!} \frac{(2n+1)!}{4^{2n+1}} ) = 4 \\}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{(-4)^{2n+3}}{(2n+3)!} \frac{(2n+1)!}{(-4)^{2n+1}} ) = 4 \\
r \in (-4,4)}\)
Czy to jest dobrze?
Jeszcze co do tego pierwszego zadanka dokładniej co do obliczenia: \(\displaystyle{ f^{(8)}(3)}\)
to robimy to tak, że skoro wiemy, że:
\(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n} \\
a_{8}=(-1)^{8}=1 \\
a_8=\frac{f^{(8)}(3)}{8!} \\
f^{(8)}(3)= \frac {1}{8!} \\}\)
Czy to tak robimy?
\(\displaystyle{ f(x)=sinh(x) \\
f^{(0)}=sinh \ \ \ \ \ \ f^{(0)}(0)=0 \\
f^{(I)}=cosh \ \ \ \ \ \ f^{(I)}(0)=1 \\
f^{(II)}=sinh \ \ \ \ \ \ f^{(II)}(0)=0 \\
f^{(III)}=cosh \ \ \ \ \ \ f^{(III)}(0)=1 \\
f^{(IV)}=sinh \ \ \ \ \ \ f^{(IV)}(0)=0 \\}\)
\(\displaystyle{ f(x)=0+ \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^{2}+ \frac{1}{3!}x^{3}+...= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\}\)
Teraz sprawdzam sobie promień i obszar zbieżności:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{1}{(2n+3)!} \frac{(2n+1)!}{1}) = \frac{1}{4} \\
\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(2n+1)!} (-4)^{2n+1} \\
\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(2n+1)!} (4)^{2n+1} \\}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{4^{2n+3}}{(2n+3)!} \frac{(2n+1)!}{4^{2n+1}} ) = 4 \\}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{(-4)^{2n+3}}{(2n+3)!} \frac{(2n+1)!}{(-4)^{2n+1}} ) = 4 \\
r \in (-4,4)}\)
Czy to jest dobrze?
Jeszcze co do tego pierwszego zadanka dokładniej co do obliczenia: \(\displaystyle{ f^{(8)}(3)}\)
to robimy to tak, że skoro wiemy, że:
\(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n} \\
a_{8}=(-1)^{8}=1 \\
a_8=\frac{f^{(8)}(3)}{8!} \\
f^{(8)}(3)= \frac {1}{8!} \\}\)
Czy to tak robimy?
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Funkcję rozwinąć w szereg Taylora.
Rozwinięcie OK, ale z d'Alemberta źle:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{(2n+3)!}}{\frac{1}{(2n+1)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+3)(2n+2)} = 0}\)
więc szereg jest zbieżny na całej prostej (symbolicznie: \(\displaystyle{ r=\infty}\)).
Pochodna: źle ostatnie przekształcenie.
Przecież z
\(\displaystyle{ a_8=\frac{f^{(8)}(3)}{8!}}\)
wynika
\(\displaystyle{ f^{(8)}(3)}=8!}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{(2n+3)!}}{\frac{1}{(2n+1)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+3)(2n+2)} = 0}\)
więc szereg jest zbieżny na całej prostej (symbolicznie: \(\displaystyle{ r=\infty}\)).
Pochodna: źle ostatnie przekształcenie.
Przecież z
\(\displaystyle{ a_8=\frac{f^{(8)}(3)}{8!}}\)
wynika
\(\displaystyle{ f^{(8)}(3)}=8!}\)