Matematyka.pl

podany szereg rozwiń wg. cosinusów : \(\displaystyle{ f(x)=x( \pi -x)}\) w \(\displaystyle{ \left[ 0, \pi \right]}\)


o co chodzi w tym zadaniu ?

O to, aby w szeregu Fouriera pojawiły się same cosinusy, tzn. aby mieć

\(\displaystyle{ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx\,.}\)

Wyrazy z sinusami muszą się więc wyzerować. Funkcja rozwijana w szereg Fouriera musi więc być parzysta w przedziale \(\displaystyle{ [-\pi,\pi].}\)

Według cosinusów w szereg Fouriera rozwijają się w przedziale \(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\) funkcje parzyste. Więc trzeba formalnie rozszerzyć w sposób parzysty naszą funkcję na przedział \(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\) i w nim zastosować wzory na zwykłe współczynniki Fouriera. Tu więc będziesz mieć

\(\displaystyle{ a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos nx dx}\)

Aby zastosować te wzory, oczywiście niczego innego nie trzeba robić, tylko całkować. Pisałem więc o formalnym rozszerzaniu.

Nie zawsze funkcja jest równa swojemu rozwinięciu Fourierowskiemu. Musi spełniać warunki Dirichleta. Dlatego pisałem \(\displaystyle{ \sim}\) zamiast znaku równości. Sprawdź spełnienie warunków Dirichleta przez naszą funkcję.

ok, dzięki, może dam sobie z tym radę !

Pewnie, że dasz Masz tu tylko całki typu \(\displaystyle{ \int_0^{\pi}x\cos nxdx}\) oraz \(\displaystyle{ \int_0^{\pi}x^2\cos nxdx,}\) co łatwo obliczysz przez części.

a mógłbyś mi rozwiązać całe to zadanie ? ładnie proszę ;p

Nie mógłbym, całki są łatwe, a gotowców nie daję w tak prostych rzeczach. Inna sprawa np. w skomplikowanej analizie funkcjonalnej, topologii itp. Ale dam wskazówkę: temat jest dość szczegółowo omówiony w książce Krysickiego. Zobacz w II tomie ostatni paragraf na str. 317. Przeczytaj ze zrozumieniem. I potem połowę strony 318. Powinno to wiele wyjaśnić.

ok, dzięki ! mam nadzieję, że ogarne ;p