Matematyka.pl

Cześć ma kłopot z zadaniem:
Myślę, że nie. Bo \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{} (x^n - x^{n+1}) = \sum_{n=1}^{} x^n(1-x)}\). Dla \(\displaystyle{ x \in {0,1}}\) suma szeregu wynosi 0, podobnie dla \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^+}\) i \(\displaystyle{ x \rightarrow 1^-}\)
Proszę o pomoc.

Pomocne jest wyznaczenie funkcji granicznej. W tym przypadku przecież sumujesz szeregi geometryczne .

Masz na myśli coś takiego ? O to chodziło ?

Raczej o
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}x^n=\ldots}\)

Myślę, że najprościej będzie tak

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} (x^n - x^{n+1})=x-x^2+x^2-x^3+x^3-\ldots+x^k-x^{k+1}.}\)

To powinno być zbieżne to 0, ale np dla \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}}\) ta suma (przy \(\displaystyle{ k \rightarrow \infty}\) ) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) , czyli nie ma zbieżności jednostajnej.

O to chodzi ?

Nie o to.

Dlaczego ta suma powinna być zbieżna do \(\displaystyle{ 0}\)?

Z zerem bo była pomyłka.

Chodziło mi o to, że jeśli np \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) to suma dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ( bo \(\displaystyle{ k \rightarrow \infty}\) ) , a jesli np \(\displaystyle{ x=\frac{1}{5}}\) to szereg dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) . Żeby była zbieżność jednostajna, to \(\displaystyle{ x - x^{k+1} \rightarrow g}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) , \(\displaystyle{ g \in \math{R}}\)

Tak ?

Tak, ze zbieżności jednostajnej wynika zwykła zbieżność.

Czyli to co napisałem jest wystarczająca odpowiedzią na pytanie o zbieżność jednostajną ?.
Tzn. Szereg ten nie jest zbieżny jednostajnie.

Tylko, że ten szereg jest zbieżny punktowo.

W takim razie nie wiem jak to ma być.
Napisałbyś konkretnie jak to pokazać ?

Chyba żeśmy się nie dogadali. Nie widzę żebyś udowodnił, że ten szereg nie jest zbieżny jednostajnie.-- 3 wrz 2011, o 14:07 --Np. wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (x-x^{n+1})_n}\) są funkcjami ciągłymi na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Co powiesz o granicy ciągu funkcji ciągłych zbieżnego jednostajnie?

Raczej ale i tak to nie jest odpowiedz na moje pytanie.