Matematyka.pl

Witam,

mam takie dosyć nurtujący mnie problem. Otóż wiem, jak sprowadzać coś do szeregu jakiegoś tam za pomocą pochodnych, ale jeżeli mamy funkcję postaci:

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{1 + x}}\)

Chodzi mi o to że to jest przecież iloczyn dwu funkcji, które "mają własne" znane szeregi Taylora (tudzież Maclaurina). Czy nie da się bez użycia pochodnych (albo z ich zmniejszeniem) to łatwo obliczyć (korzystając oczywiście z rozwinięć części tego szeregu - \(\displaystyle{ \cos}\) oraz \(\displaystyle{ (x + 1)^{-1}}\)?

No pewnie. Masz to tu , pod "Ring structure" jest wzór na mnożenie.

(W szczególności, do manipulacji szeregami (różniczkowanie, mnożenie, dodawanie) zbieżność jest zupełnie nieistotna.)

Czy aby to nie było mnożenie szeregów Caughy'ego?

A czy mógłbyś mi pokazać na tym przykładzie jak to się robi?

Ja kombinowałem tak:

\(\displaystyle{ \cos x = (1+x)\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\\ \\
1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}=a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+a_{n-1})x^{n}\\ \\
1+\sum_{n=2k}^{\infty} \frac{(-1)^{2k+k}x^{n}}{n!}+ \sum_{n=2k+1}^{\infty}0x^{n}= a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+a_{n-1})x^{n}\\}\)

Stąd mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=1\\a_{2k}+a_{2k-1}=\frac{(-1)^{2k+k}}{(2k)!} \\a_{2k-1}-a_{2k-2}=0 \end{cases}}\)

Nic mi z tej rekurencji nie wyszło sensownego oprócz kilku początkowych wyrazów...

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{1+x}=1-x+ \frac{1}{2}x^{2}- \frac{1}{2}x^{3}+ \frac{13}{24}x^{4}- \frac{13}{24}x^{5}+ \frac{389}{720}x^{6}+...}\)

Dokładnie, to jest iloczyn Cauchy'ego szeregów. Jeśli dobrze pamiętam, to na analizie dowodzi się twierdzenie, że jeśli oba szeregi są bezwzględnie zbieżne, to iloczyn Cauchy'ego zbiega do iloczynu granic. Ale szeregi potęgowe są bezwzględnie zbieżne w swoim promieniu zbieżności.

A co do Twoich obliczeń, to niestety nie znam żadnych dobrych metod na dzielenie szeregów. Zawsze liczyłem na palcach, tak jak Ty i to zwykle wystarczało do oszacowania np. drugiej pochodnej...