Strona 1 z 1
Wzór na sumę ciągu.
: 3 lip 2011, o 20:16
autor: Simon86
Znaleźć wzór na sumę ciągu:
\(\displaystyle{ 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + ... + nx^{n-1}}\)
Odpowiedź jest taka \(\displaystyle{ S_{n} = \frac{nx^{n+1}-\left( n+1\right)x^{n}+1}{\left( 1-x\right)^{2}}}\)
Interesuje mnie w jaki sposób dojść do takiego wyniku?
Wzór na sumę ciągu.
: 3 lip 2011, o 20:21
autor: Qń
Wskazówka - zróżniczkuj stronami równość:
\(\displaystyle{ 1+x+x^2+\ldots +x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}}\)
Q.
Wzór na sumę ciągu.
: 3 lip 2011, o 20:29
autor: Simon86
A nie powinno być tak?
\(\displaystyle{ 1+x+x^2+\ldots +x^n=\frac{x^{n}-1}{x-1}}\)
tak mi wychodzi ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego.
Wzór na sumę ciągu.
: 3 lip 2011, o 20:38
autor: pyzol
Szereg z lewej strony ma \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów.
Wzór na sumę ciągu.
: 3 lip 2011, o 20:51
autor: Simon86
No tak zgadza się z tym wykładnikiem.
Pochodna tak wychodzi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)^{'} = \frac{\left( n+1\right)x^{n} \cdot \left( x-1\right) -\left( x^{n+1}-1\right)}{\left( x-1\right)^{2}} = \frac{\left( n+1\right)x^{n+1} - \left( n+1\right)x^{n} - x^{n+1} + 1}{\left( x-1\right)^{2}}}\)
Wzór na sumę ciągu.
: 3 lip 2011, o 20:52
autor: Qń
Jak jeszcze uporządkujesz, to dostaniesz dokładnie to co masz dostać.
Q.
Wzór na sumę ciągu.
: 3 lip 2011, o 20:53
autor: Simon86
Już widzę, dziękuję bardzo