Znaleźć wzór na sumę ciągu:
\(\displaystyle{ 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + ... + nx^{n-1}}\)
Odpowiedź jest taka \(\displaystyle{ S_{n} = \frac{nx^{n+1}-\left( n+1\right)x^{n}+1}{\left( 1-x\right)^{2}}}\)
Interesuje mnie w jaki sposób dojść do takiego wyniku?
Wzór na sumę ciągu.
-
Simon86
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnowskie Góry
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 39 razy
Wzór na sumę ciągu.
A nie powinno być tak?
\(\displaystyle{ 1+x+x^2+\ldots +x^n=\frac{x^{n}-1}{x-1}}\)
tak mi wychodzi ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego.
\(\displaystyle{ 1+x+x^2+\ldots +x^n=\frac{x^{n}-1}{x-1}}\)
tak mi wychodzi ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego.
-
Simon86
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnowskie Góry
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 39 razy
Wzór na sumę ciągu.
No tak zgadza się z tym wykładnikiem.
Pochodna tak wychodzi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)^{'} = \frac{\left( n+1\right)x^{n} \cdot \left( x-1\right) -\left( x^{n+1}-1\right)}{\left( x-1\right)^{2}} = \frac{\left( n+1\right)x^{n+1} - \left( n+1\right)x^{n} - x^{n+1} + 1}{\left( x-1\right)^{2}}}\)
Pochodna tak wychodzi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)^{'} = \frac{\left( n+1\right)x^{n} \cdot \left( x-1\right) -\left( x^{n+1}-1\right)}{\left( x-1\right)^{2}} = \frac{\left( n+1\right)x^{n+1} - \left( n+1\right)x^{n} - x^{n+1} + 1}{\left( x-1\right)^{2}}}\)
Ostatnio zmieniony 3 lip 2011, o 20:52 przez Simon86, łącznie zmieniany 1 raz.