badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian
: 2 lip 2011, o 14:30
Witam,
właśnie zajmuje się badaniem liniowej zależności różnych funkcji i trafiłem na kamień.
Mam podaną funkcję \(\displaystyle{ y_{k}(x)= e^{- k^{2}x } , k=1,2,,...,n ; n \in N}\)
Mam zbadać czy istnieje jakaś liniowa zależność między tymi funkcjami.
Jedno rozwiązanie przychodzi mi od razu do głowy: mianowicie można wykazać, że każdą z funkcji \(\displaystyle{ y_{k}}\) można opisać (uzalenić) od funkcji \(\displaystyle{ y_{1}}\) co by było jednoznaczne z liniową zależnością wszystkich funkcji opisanych powyższym wzorem, ale ten dowód chyba nie należy do najlepszych, o ile w ogóle jest prawdziwy...
Próbuje udowodnić powyższą zależność za pomocą wrońskianu (wyznacznika Wrońskiego) i lipa.
\(\displaystyle{ F(f_1, f_2, \ldots, f_n) = W(x) = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\ f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{bmatrix}}\)
Po rozpisaniu tej funkcji wyznacznik wygląda następująco:
\(\displaystyle{ W(x) = \begin{bmatrix} e^{-x} & e^{-4x} & \cdots & e^{- n^{2} x} \\ -e^{-x} & -4e^{-4x} & \cdots & -n^{2} e^{- n^{2} x} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{n-1} e^{-x}} & (-4)^{n-1} e^{-4x} & \cdots & (-n ^{2}) ^{n-1} e^{- n^{2} x} \end{bmatrix}}\)
Wiadomo, że kiedy \(\displaystyle{ W(x)=0}\) to te funkcje (określone wzorem \(\displaystyle{ y_{k}(x)= e^{- k^{2}x } , k=1,2,,...,n ; n \in N}\)) są liniowe zależne.
Ma ktoś pomysł jak udowodnić, że ten wyznacznik jest/nie jest identyczny zeru? Żaden z wersów ani kolumn macierzy nie jest taki sam więc sprawa się trochę komplikuje...
Serdeczne dzięki za pomoc
pozdrawiam wszystkich Matematyków
szczególnie tych amatorów-niedołęg
właśnie zajmuje się badaniem liniowej zależności różnych funkcji i trafiłem na kamień.
Mam podaną funkcję \(\displaystyle{ y_{k}(x)= e^{- k^{2}x } , k=1,2,,...,n ; n \in N}\)
Mam zbadać czy istnieje jakaś liniowa zależność między tymi funkcjami.
Jedno rozwiązanie przychodzi mi od razu do głowy: mianowicie można wykazać, że każdą z funkcji \(\displaystyle{ y_{k}}\) można opisać (uzalenić) od funkcji \(\displaystyle{ y_{1}}\) co by było jednoznaczne z liniową zależnością wszystkich funkcji opisanych powyższym wzorem, ale ten dowód chyba nie należy do najlepszych, o ile w ogóle jest prawdziwy...
Próbuje udowodnić powyższą zależność za pomocą wrońskianu (wyznacznika Wrońskiego) i lipa.
\(\displaystyle{ F(f_1, f_2, \ldots, f_n) = W(x) = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\ f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{bmatrix}}\)
Po rozpisaniu tej funkcji wyznacznik wygląda następująco:
\(\displaystyle{ W(x) = \begin{bmatrix} e^{-x} & e^{-4x} & \cdots & e^{- n^{2} x} \\ -e^{-x} & -4e^{-4x} & \cdots & -n^{2} e^{- n^{2} x} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{n-1} e^{-x}} & (-4)^{n-1} e^{-4x} & \cdots & (-n ^{2}) ^{n-1} e^{- n^{2} x} \end{bmatrix}}\)
Wiadomo, że kiedy \(\displaystyle{ W(x)=0}\) to te funkcje (określone wzorem \(\displaystyle{ y_{k}(x)= e^{- k^{2}x } , k=1,2,,...,n ; n \in N}\)) są liniowe zależne.
Ma ktoś pomysł jak udowodnić, że ten wyznacznik jest/nie jest identyczny zeru? Żaden z wersów ani kolumn macierzy nie jest taki sam więc sprawa się trochę komplikuje...
Serdeczne dzięki za pomoc
pozdrawiam wszystkich Matematyków
szczególnie tych amatorów-niedołęg