Szereg potęgowy
: 25 cze 2011, o 23:34
Witam, mam do policzenia szereg potęgowy i przedziały zbieżności. Prosze o sprawdzenie i dalsze wskazówki gdyż robię to zadanie tylko do pewnego momentu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2} (x + 2)^n \\ \\
\lambda = \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n + 1)^2} n^2= \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{n^2}{n^2} }{ \frac{n^2}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{2}{n^2} } = \frac{1}{1+0+0} = 1}\)
wiemy że \(\displaystyle{ R = \frac{1}{\lambda}}\)
czyli \(\displaystyle{ R =1}\)
\(\displaystyle{ | x + 2| <1 \\
x + 2 <1 \\
x + 2 >-1 \\
x <-1 \\
x >-3 \\ \\
x =(-3;-1)}\)
i teraz podobno należy policzyć granice w tych punktach ? I tego właśnie nie rozumiem po co to liczyć i jak to policzyć skoro \(\displaystyle{ (1^n)}\) to symbol nieoznaczony
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n^2} (-1)^n \\ \\
\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^2} (-3)^n}\)
Prosze pomóżcie ;]
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2} (x + 2)^n \\ \\
\lambda = \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n + 1)^2} n^2= \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{n^2}{n^2} }{ \frac{n^2}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{2}{n^2} } = \frac{1}{1+0+0} = 1}\)
wiemy że \(\displaystyle{ R = \frac{1}{\lambda}}\)
czyli \(\displaystyle{ R =1}\)
\(\displaystyle{ | x + 2| <1 \\
x + 2 <1 \\
x + 2 >-1 \\
x <-1 \\
x >-3 \\ \\
x =(-3;-1)}\)
i teraz podobno należy policzyć granice w tych punktach ? I tego właśnie nie rozumiem po co to liczyć i jak to policzyć skoro \(\displaystyle{ (1^n)}\) to symbol nieoznaczony
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n^2} (-1)^n \\ \\
\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n^2} (-3)^n}\)
Prosze pomóżcie ;]