Matematyka.pl

Witam i uprzejmie proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania następującego zadania:

Korzystając z rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ e^x}\) w szereg Maclaurina, podaj wzór i dziedzinę funkcji zadanej szeregiem potęgowym \(\displaystyle{ \star = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n} n!} x^{n}}\)

Wprowadźmy oznaczenia:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n}{2^n n!} \newline}\)

\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{2^n n!}}\)

Obliczając odpowiednio promienie zbieżności szeregów \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n}\) mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n + 1}} = \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{b_{n + 1}} = \infty}\)


zatem promień zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (a_n+b_n)x^n}\) wynosi również \(\displaystyle{ \infty}\), czyli poniższe przejścia są prawdziwe dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\)

\(\displaystyle{ \star = \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{n}{2^{n} n!} x^{n}} + \sum_{n=0}^{\infty} {\frac{1}{2^{n} n!} x^{n}} = \frac{x}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^n}{n!} = e^{\frac{x}{2}} \left( \frac{x}{2} + 1 \right)}\)

i dziedziną tej funkcji to właśnie \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\)

Pozdrawiam.

Ps. Dokładnie to chodzi mi o pierwsze rozbicie, czy na podstawie tego co napisałem już tak można zrobić, czy coś pominąłem.

Tak. Możesz tak rozbić na podstawie tego co napisałeś. Tylko pod koniec masz błąd. Z jednej sumy wyłączyłeś \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) a w szeregu już tego nie uwzględniłeś.

Wydaje mi się, że wszystko jest ok:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} {\frac{n}{2^n n!} x^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n n!} x^n= \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{n}{2^n n!} x^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n n!} x^n= \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{(n-1)!} { \left( \frac{x}{2} \right)}^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n n!} x^n= \sum_{n=0}^{\infty} {\frac{1}{n!} {\left( \frac{x}{2} \right)}^{n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ {\left( \frac{x}{2}\right)}^n}{n!}= \frac{x}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ {\left( \frac{x}{2}\right)}^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ {\left( \frac{x}{2}\right)}^n}{n!}}\)

A tak przepraszam. Tam raz jest sumowanie od 1 a drugi raz od 0 i to mnie zmyliło.