Matematyka.pl

1) zbieznosc dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
mamy szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{(-1)^n}{ x^2 + n^2}}\)

ograniczam \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) - zbiezne jednostajnie i ponktowo

2) zbieznosc dla \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\)

mamy szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} x^n ( 1-x)}\)


moge go ograniczyc \(\displaystyle{ x^n}\) ale chyba tylko dla \(\displaystyle{ x in [0,1)}\) co sie dzieje dla jedynki ?


czy to jest ok ?

Pierwsze jest "ok" w zamyśle, choć nie wiem czy w szczegółach rozumujesz poprawnie. Po kolei tak musisz argumentować:
1) zbadam zbieżność bezwględną
2) robisz szacowanie, o którym wspomniałes - jest zbieżność szeregu liczbowego szacującego z góry naszą funkcję
3) ze zbieżności bezwględnej wynika zbieżność dla każdego \(\displaystyle{ x}\), a więc z kryterium Weierstrassa jednostajna zbieżność

Co do drugiego, to wyciągnij sobie ten niezależny od \(\displaystyle{ n}\) czynnik \(\displaystyle{ (1-x)}\) przed sumę i oddzielnie ropatrz trzy możliwości:
1)\(\displaystyle{ x=1}\)
2)\(\displaystyle{ x=0}\)
3)\(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) , korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego

no to dla x =1 - 0
dla x = 0 - 0

dla pozostałych, nie rozumię o co chodzi z tą sumą

Chodzi o sumę zbieżnego szeregu geometrycznego!
\(\displaystyle{ \forall x \in (0,1) \ \ \ \ \ \ \ \sum_{0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}}\)

aha, czyli tu jest zbiezny, a dal skrajnych iksów już nie

Chwilkę... Masz zbadać zbieżność punktową i jednostajną na \(\displaystyle{ [0,1]}\)? W takim razie punktowo jest zbieżny wszędzie na tym przedziale domkniętym, a co myślisz o jednostajnej zbieżności?

no mi się wydaję, żę jak ogranicze go z weierstrassa \(\displaystyle{ x^n}\) to mam zalatwiona zbienzosc jednostajna a ona tez implikuje punktowa

Ale jak ograniczysz z Weierstrassa szereg: \(\displaystyle{ (1-x) \sum_{0}^{\infty} x^n}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\)?
Wnioski z naszych dotychczasowych wyników są takie:
1) Szereg \(\displaystyle{ (1-x) \cdot \sum_{0}^{\infty} x^n}\) na \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest zawsze zbieżny do: ?
2) W związku z tym, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\), to na całym \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest zbieżny dla różnych \(\displaystyle{ x}\)-ów do różnych funkcji (albo tożsamościowo równej \(\displaystyle{ 1}\) albo tożsamościowi równej \(\displaystyle{ 0}\)).
3) Wiemy, że szereg \(\displaystyle{ (1-x) \sum_{0}^{\infty} x^n}\) jest szeregiem funkcji ciągłych na \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc musi być jednostajnie zbieżny do funkcji ciągłej na \(\displaystyle{ [0,1]}\), jeśli jest jednostajnie zbieżny( jest takie twierdzenie, że suma szeregu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą). Nasza funkcja graniczna dla zbieżności punktowej na \(\displaystyle{ [0,1]}\), która jest jedynym kandydatem na graniczną dla zbieżności jednostajnej nie jest ciągła na \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc NA PRZEDZIALE (przedział - jego końce i ich zawieranie się w tym przedziale - jest bardzo ważny) \(\displaystyle{ [0,1]}\) nasz szereg zbieżny jednostajnie NIE jest.

Mozesz wytlumaczyc do czego zbiezny jest ten szereg na przedziale (0, 1)?

\(\displaystyle{ \forall x \in (0,1) \ \ \ \ \ \ \ \sum_{0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}}\)
zgadza się?

Juankm pisze:2) W związku z tym, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\), to na całym \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest zbieżny dla różnych \(\displaystyle{ x}\)-ów do różnych funkcji (albo tożsamościowo równej \(\displaystyle{ 1}\) albo tożsamościowi równej \(\displaystyle{ 0}\)).

Mała uwaga: zdaje mi się, że dla szeregów potęgowych przyjmuje się \(\displaystyle{ 0^0=1.}\) Dlatego dla \(\displaystyle{ x=0}\) szereg zbiega do \(\displaystyle{ 1.}\)
Oczywiście nie wpływa to na dalsze rozumowanie, bo funkcja nadal nie jest ciągła na \(\displaystyle{ [0, 1].}\)

P.S. Tym bardziej nie mógłby ten szereg w zerze zbiegać do zera, że jest jednostajnie zbieżny np. na \(\displaystyle{ \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right],}\) czyli w zerze musi być ciągły.

Święta racja Dasio11, ja pisałem: \(\displaystyle{ \sum_{0}^{\infty} x^n}\), a to co napisałem byłoby poprawne dla:\(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} x^n}\). Po prostu przeoczyłem niezereowanie się pierwszego składnika sumy \(\displaystyle{ \sum_{0}^{\infty} x^n}\).
Tym niemniej, jak napisał Dasio11, dla \(\displaystyle{ \sum_{0}^{\infty} x^n}\) wciąż w \(\displaystyle{ x=1}\) jednostajna zbieżność \(\displaystyle{ (1-x)\sum_{0}^{\infty} x^n}\) się sypie.

Dodam, że warto zbadać wykres funkcji

\(\displaystyle{ f_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} x^n (1-x) = (1-x) + \left(x-x^2 \right) + \left(x^2-x^3 \right) + \cdots + \left( x^{n-1} - x^n \right) = 1-x^n}\)

na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\) dla \(\displaystyle{ n \to \infty.}\) Jak na dłoni widać, że zbiega to punktowo do

\(\displaystyle{ f(x) = egin{cases} 0 quad ext{dla } x in [0, 1) \ 1 quad ext{dla } x=1 end{cases}}\)

lecz nie zbiega doń jednostajnie, bo dla \(\displaystyle{ x \approx 1}\) będzie \(\displaystyle{ 1-x^n \approx 0.}\)

Edit: parę błędów, poprawka na dole.

Zamienił Ci się indeks sumowania \(\displaystyle{ k}\) na \(\displaystyle{ n}\) w sumie: "\(\displaystyle{ f_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} x^n (1-x)}\)" i z funkcją graniczną też jest coś nie tak...

Racja, przepraszam. Powinno być:

\(\displaystyle{ f_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} x^k(1-x) = (1-x) + \left( x-x^2 \right) + \left(x^2-x^3 \right) + \cdots + \left(x^{n-1} - x^n \right) = 1-x^n}\)

oraz oczywiście

\(\displaystyle{ f_n(x) o f(x) = egin{cases} 1 quad ext{gdy } x in [0, 1) \ 0 quad ext{gdy } x=1 end{cases}}\)

Dzięki za poprawkę.