ciągłość 2 dowody

[moniac91]

Z.1.
Udowodnij, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:(a,b) \rightarrow R}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x0 \in (a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)>0}\) to funkcja jest dodatnia w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x0}\)
Z.2.
Udowodnij, że jeśli funkcje \(\displaystyle{ f,g: X \rightarrow R}\) są ciągłe, to ciągłe są funkcje
\(\displaystyle{ p(x)=max{f(x),g(x)}, r(x)=min{f(x).g(x)}}\)

Ktoś mógłby mi to rozwiązać i po ludzku wytłumaczyć krok po kroku?:)-- 14 sty 2011, o 19:26 --Miało być w zad 2 \(\displaystyle{ p(x)=max [f(x),g(x)] , r(x)=min [f(x).g(x)]}\)

[Gacuteek]

1) Skorzystaj z tw Darboux ( powinno być chyba \(\displaystyle{ f(x_{0})>0}\))
2)Wystarczy rozpisać te wyrażenia i odpowiedź nasuwa się natychmiastowo:
\(\displaystyle{ max\left\{ f(x),g(x)\right\}= \frac{\left| f(x)-g(x)\right|+f(x)+g(x) }{2}}\)

oraz \(\displaystyle{ min\left\{ f(x),g(x)\right\}= \frac{ f(x)+g(x)- \left| f(x)-g(x)\right|}{2}}\)

MG

[moniac91]

Dzięki bardzo za odpowiedź. Moge jeszcze tylko wiedzieć skąd to rozpisanie max{f(x),g(x)} ?

[Gacuteek]

Np. dla \(\displaystyle{ max\left\{ x,y\right\}= \frac{\left|x-y\right|+x+y }{2}}\) to wynika z obserwacji wyniku działania funkcji max na elementach x i y dla poszczególnych przypadków \(\displaystyle{ x>y , y>x, x=y}\)

MG