Nie potrafię robić przykładów gdzie "n" jest w podstawie i wykładniku potęgi (jak poniżej) :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4 ^{n} x ^{2n}}{n ^{3} }}\)
proszę więc o wytłumaczenie kolejnych kroków lub jakieś wskazówki.
Z góry dzieki.
Znajdź obszar zbieżności
-
rsasquatch
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 1 lut 2010, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Pomógł: 35 razy
Znajdź obszar zbieżności
Najpierw zbadamy zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4^{n}y^{n}}{n^{3}}}\) gdzie \(\displaystyle{ y^{n}=x^{2n}}\)
Korzystając z kryterium Cauchy'ego \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{4^{n}}{n^{3}} }=4}\) to promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ r= \frac{1}{4}}\)
Wobec tego promień zbieżności naszego właściwego szeregu obliczymy z \(\displaystyle{ y^{n}=x^{2n} \Rightarrow (\frac{1}{4} )^{n}=x^{2n} \Rightarrow x= \frac{1}{2} \vee x=- \frac{1}{2}}\). Czyli promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
Trzeba zbadać jeszcze zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4^{n}x^{2n}}{n^{3}}}\) na brzegach gdy \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2} \vee x= \frac{1}{2}}\). Szereg ten jest zbieżny w tych punktach gdyż jest zbieżny bezwzględnie jako szereg harmoniczny rzędu wyższego niż 1
Przedziałem zbieżności jest zatem \(\displaystyle{ [- \frac{1}{2} , \frac{1}{2} ]}\)
Korzystając z kryterium Cauchy'ego \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{4^{n}}{n^{3}} }=4}\) to promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ r= \frac{1}{4}}\)
Wobec tego promień zbieżności naszego właściwego szeregu obliczymy z \(\displaystyle{ y^{n}=x^{2n} \Rightarrow (\frac{1}{4} )^{n}=x^{2n} \Rightarrow x= \frac{1}{2} \vee x=- \frac{1}{2}}\). Czyli promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
Trzeba zbadać jeszcze zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4^{n}x^{2n}}{n^{3}}}\) na brzegach gdy \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2} \vee x= \frac{1}{2}}\). Szereg ten jest zbieżny w tych punktach gdyż jest zbieżny bezwzględnie jako szereg harmoniczny rzędu wyższego niż 1
Przedziałem zbieżności jest zatem \(\displaystyle{ [- \frac{1}{2} , \frac{1}{2} ]}\)