zbieżność jednostajna ciągu

[fanch]

Witam , mam takie zadanie i prosiłbym gdyby ktoś mógł sprawdzić moje rozwiązanie.

zad. Dla n naturalnego i x nieujemnego \(\displaystyle{ f _{n}(x)= \frac{n^{2}x}{n ^{3}+x^{3} }}\).
Zbadać zbieżność jednostajną na : A=[0,27], B=[0,nieskończoność).

i ja to robię tak:

funkcja graniczna f(x) równa się zero dla każdego x rzeczywistego.

dla zbioru A:

\(\displaystyle{ sup|f _{n}(x)-f(x)| le frac{27n^2}{n^3}}\), to dąży do zera gdy n dąży do nieskończoności, więc mamy tutaj zbieżność jednostajną.

dla zbioru B:

liczę pochodną \(\displaystyle{ f _{n} ^{'}(x)}\), przyrównuję licznik do zera i obliczam odpowiedniego \(\displaystyle{ x _{0}}\), dla którego ten licznik równa się zero. Potem liczę \(\displaystyle{ f _{n} (x _{0} )}\) i wychodzi mi jakaś liczbą, konkretna bez żadnego n, różna od zera. Czyli tzn. że zb. jednostajnej nie ma.

Dobrze ?

[Nakahed90]

Pokaz jak wyliczyłeś \(\displaystyle{ x_{0}}\), bo powinien on Ci wyjść zależny od n.

[fanch]

oczywiście x0 wyszedł zależny od n, tylko wartość fn w tym x0 wyszła skończona dodatnia liczba.

[Nakahed90]

Czyli wynika nam, że ten ciąg nie jest jednostajnie zbieżny do 0 na tym przedziale.

[fanch]

ok dzięki.