Rozwiń funkcję w szereg Fouriera
: 23 cze 2010, o 23:20
Witam, potrzebuję sprawdzenia-podpowiedzi-naprowadzenia
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 2; x \in (0; \pi) \\ 1; x = 0,\pi \\ 0; x \in R\backslash[0;\pi]\end{cases}}\) - rozwinąć w szereg Fouriera.
Tworzę, więc g(x) = x i dla niego liczę szereg.
Jest nieparzysta, więc liczę tylko przy cosinusach, stąd
\(\displaystyle{ a _{0} = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi}x dx = 2\pi}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi}xcosxdx \rightarrow -8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}}\)
stąd podstawiam do pierwszego wzoru i otrzymuje szereg Fouriera
kolejno 2,1,0
\(\displaystyle{ F(x) = 6\pi + \sum_{}^{}-8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}cos0nx + \sum_{}^{}-8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}cosnx + \sum_{}^{}-8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}cos2nx}\)
dobrze myślę? jak nie to prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku...
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 2; x \in (0; \pi) \\ 1; x = 0,\pi \\ 0; x \in R\backslash[0;\pi]\end{cases}}\) - rozwinąć w szereg Fouriera.
Tworzę, więc g(x) = x i dla niego liczę szereg.
Jest nieparzysta, więc liczę tylko przy cosinusach, stąd
\(\displaystyle{ a _{0} = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi}x dx = 2\pi}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi}xcosxdx \rightarrow -8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}}\)
stąd podstawiam do pierwszego wzoru i otrzymuje szereg Fouriera
kolejno 2,1,0
\(\displaystyle{ F(x) = 6\pi + \sum_{}^{}-8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}cos0nx + \sum_{}^{}-8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}cosnx + \sum_{}^{}-8\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}cos2nx}\)
dobrze myślę? jak nie to prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku...