rozwinąć funkcje w szereg Laurenta
: 21 cze 2010, o 23:56
rozwinąć w szereg Laurenta funkcje : \(\displaystyle{ f(z)= \frac{2}{(z^2+1)(z+1)}}\) w pierścieniu:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}< |z-1|<2}\)
najpierw zaczynam od rozłożenia funkcji na ułamki proste i wychodzi:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{A}{z+j} + \frac{B}{z-j} + \frac{C}{z+1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ A= \frac{2}{-2+j}}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{2}{-2-2j}}\)
\(\displaystyle{ C=1}\)
i kolejno rozwijam każdy z ułamków. Tutaj zaczyna się mój problem, na początku zajmę się pierwszym ułamkiem:
\(\displaystyle{ \frac{A}{z+j} = -\frac{A}{j} \frac{1}{1- \frac{z}{j} }}\)
aby móc skorzystać ze wzoru na sumę szeregu potęgowego musi być spełniony warunek |q|< 1 , przy czym moje rozwinięcie musi znajdować się w pierścieniu podanym w poleceniu. Wracając do zadania:
\(\displaystyle{ | \frac{z}{j} |< 1 \Rightarrow r>1}\) co nie zgadza się z pierścieniem.
Do tej pory robiłem zadania w których pierścien był opisany wzorem: \(\displaystyle{ P(1;1, \infty )}\)
w tym przypadku muszę ograniczyć z góry jak i z dołu moje q, mógł by mi ktoś wytłumaczyć jak to zrobic?
pozdrawiam mith.
\(\displaystyle{ \sqrt{2}< |z-1|<2}\)
najpierw zaczynam od rozłożenia funkcji na ułamki proste i wychodzi:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{A}{z+j} + \frac{B}{z-j} + \frac{C}{z+1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ A= \frac{2}{-2+j}}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{2}{-2-2j}}\)
\(\displaystyle{ C=1}\)
i kolejno rozwijam każdy z ułamków. Tutaj zaczyna się mój problem, na początku zajmę się pierwszym ułamkiem:
\(\displaystyle{ \frac{A}{z+j} = -\frac{A}{j} \frac{1}{1- \frac{z}{j} }}\)
aby móc skorzystać ze wzoru na sumę szeregu potęgowego musi być spełniony warunek |q|< 1 , przy czym moje rozwinięcie musi znajdować się w pierścieniu podanym w poleceniu. Wracając do zadania:
\(\displaystyle{ | \frac{z}{j} |< 1 \Rightarrow r>1}\) co nie zgadza się z pierścieniem.
Do tej pory robiłem zadania w których pierścien był opisany wzorem: \(\displaystyle{ P(1;1, \infty )}\)
w tym przypadku muszę ograniczyć z góry jak i z dołu moje q, mógł by mi ktoś wytłumaczyć jak to zrobic?
pozdrawiam mith.