Suma szeregu funkcyjnego

[jaczek]

Witam,
mam problem z policzeniem, sumy szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^{-nx}}{n}}\) przez całkowanie wyraz po wyrazie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\), gdy x>0.
Założenia do twierdzenia są chyba w zasadzie spełnione, ale nie zgadza mi się pierwszy wyraz obliczonego szeregu. Proszę o pomoc.

[miodzio1988]

Moze dlatego, że indeksy Ci się pomyliły? Raz masz od n=1 , a raz od n=0. Moze tutaj tkwi błąd.

[jaczek]

Widzę, że szeregi zaczynają się od n=0 i n=1, ale jeśli całkuje szereg który zaczyna się od 0 to chyba wychodzi szereg, który również zaczyna się od 0, i dopiero później zamieniam go na szereg od 1? W każdym razie wydaje mi się, że chyba nie w tym problem.

[alef0]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^{-nx}}{n}=\int\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac {e^{-nx}}{n}\right)'_xdx=\int\sum_{n=1}^{\infty} e^{(-n-1)x}dx=\int\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{e^{nx}}dx}\)

dalej już sam oblicz sumę ciągu geometrycznego, scałkuj i znajdź dobrą stałą całkowania, żeby wszystko pasowało

[jaczek]

Ok, ale właśnie w tym tkwi problem, że , muszę to scałkować stronami:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\)
a przecież to to samo.

[alef0]

no bo jakby to nie było to samo to taka metoda liczenia szeregów byłaby zła

dostajesz że wyjściowy szereg równa się \(\displaystyle{ \ln|e^x+1|+C}\)

teraz trzeba dobrać stałą C

[jaczek]

To może napiszę jak to liczę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \int {e^{-nx}} = \int {\frac{e^{x}}{e^{x}+1}}}\)
\(\displaystyle{ -\sum_{n=0}^{\infty} \frac { e^{-nx}}{n} = \ln (e^{x}+1)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac { e^{-nx}}{n} = -\ln (e^{x}+1)}\)
i tu pojawia się problem, bo szereg zaczyna się od 0, a jeśli chciałbym obliczyć ten pierwszy wyraz to mam dzielenie przez 0.

[Wasilewski]

To policz sumę od n=1.

[alef0]

popatrz na Twoją drugą równość
w sumie dla n=0 mamy całkę z jedynki, która równa się stałej C z mojego wyniku

poza tym ten minus u Ciebie mi nie pasuje: suma szeregu o wyrazach dodatnich nie może być ujemna

[jaczek]

Ale dlaczego wychodzi dzielenie przez 0, skoro złożenia twierdzenia całkowania wyraz po wyrazie są spełnione (a może nie są?). Poza tym gdy całkuję od początku rozłożony szereg tzn. \(\displaystyle{ 1 + e^{-x}+ e^{-2}...}\) to wychodzi co innego. Dlatego nie mam pojęcia jak powinna wyglądać poprawna odpowiedź.

[alef0]

nie ma dzielenia przez zero. Szereg zaczyna Ci się od jedynki. Przeczytaj poprzedniego mojego posta

-- 8 wrz 2009, o 19:45 --

chodzi mi o to
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \int {e^{-nx}} =\int 1dx + \sum_{n=1}^{\infty} \int {e^{-nx}} = C+ \int {\frac{e^{x}}{e^{x}+1}}}\)
gdzie C musisz wyznaczyc podstawiając coś za x

[Rogal]

Hmm, od kiedy to całka z dx, to jest stała?

[alef0]

ale wstyd idę w worku pokutnym poklęczeć na grochu

[jaczek]

A czemu muszę rozdzielić ten pierwszy element? Dlaczego nie mogę po prostu scałkować lewej strony?

[Wasilewski]

A możesz wyjaśnić, czemu liczysz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}}\) zamiast \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}}\)?