Suma szeregu funkcyjnego
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 8 lut 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
Suma szeregu funkcyjnego
Witam,
mam problem z policzeniem, sumy szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^{-nx}}{n}}\) przez całkowanie wyraz po wyrazie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\), gdy x>0.
Założenia do twierdzenia są chyba w zasadzie spełnione, ale nie zgadza mi się pierwszy wyraz obliczonego szeregu. Proszę o pomoc.
mam problem z policzeniem, sumy szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^{-nx}}{n}}\) przez całkowanie wyraz po wyrazie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\), gdy x>0.
Założenia do twierdzenia są chyba w zasadzie spełnione, ale nie zgadza mi się pierwszy wyraz obliczonego szeregu. Proszę o pomoc.
Suma szeregu funkcyjnego
Moze dlatego, że indeksy Ci się pomyliły? Raz masz od n=1 , a raz od n=0. Moze tutaj tkwi błąd.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 8 lut 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
Suma szeregu funkcyjnego
Widzę, że szeregi zaczynają się od n=0 i n=1, ale jeśli całkuje szereg który zaczyna się od 0 to chyba wychodzi szereg, który również zaczyna się od 0, i dopiero później zamieniam go na szereg od 1? W każdym razie wydaje mi się, że chyba nie w tym problem.
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 19 lut 2009, o 11:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żywiec/Gliwice
- Pomógł: 23 razy
Suma szeregu funkcyjnego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {e^{-nx}}{n}=\int\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac {e^{-nx}}{n}\right)'_xdx=\int\sum_{n=1}^{\infty} e^{(-n-1)x}dx=\int\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{e^{nx}}dx}\)
dalej już sam oblicz sumę ciągu geometrycznego, scałkuj i znajdź dobrą stałą całkowania, żeby wszystko pasowało
dalej już sam oblicz sumę ciągu geometrycznego, scałkuj i znajdź dobrą stałą całkowania, żeby wszystko pasowało
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 8 lut 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
Suma szeregu funkcyjnego
Ok, ale właśnie w tym tkwi problem, że , muszę to scałkować stronami:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\)
a przecież to to samo.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\)
a przecież to to samo.
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 19 lut 2009, o 11:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żywiec/Gliwice
- Pomógł: 23 razy
Suma szeregu funkcyjnego
no bo jakby to nie było to samo to taka metoda liczenia szeregów byłaby zła
dostajesz że wyjściowy szereg równa się \(\displaystyle{ \ln|e^x+1|+C}\)
teraz trzeba dobrać stałą C
dostajesz że wyjściowy szereg równa się \(\displaystyle{ \ln|e^x+1|+C}\)
teraz trzeba dobrać stałą C
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 8 lut 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
Suma szeregu funkcyjnego
To może napiszę jak to liczę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \int {e^{-nx}} = \int {\frac{e^{x}}{e^{x}+1}}}\)
\(\displaystyle{ -\sum_{n=0}^{\infty} \frac { e^{-nx}}{n} = \ln (e^{x}+1)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac { e^{-nx}}{n} = -\ln (e^{x}+1)}\)
i tu pojawia się problem, bo szereg zaczyna się od 0, a jeśli chciałbym obliczyć ten pierwszy wyraz to mam dzielenie przez 0.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \int {e^{-nx}} = \int {\frac{e^{x}}{e^{x}+1}}}\)
\(\displaystyle{ -\sum_{n=0}^{\infty} \frac { e^{-nx}}{n} = \ln (e^{x}+1)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac { e^{-nx}}{n} = -\ln (e^{x}+1)}\)
i tu pojawia się problem, bo szereg zaczyna się od 0, a jeśli chciałbym obliczyć ten pierwszy wyraz to mam dzielenie przez 0.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 19 lut 2009, o 11:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żywiec/Gliwice
- Pomógł: 23 razy
Suma szeregu funkcyjnego
popatrz na Twoją drugą równość
w sumie dla n=0 mamy całkę z jedynki, która równa się stałej C z mojego wyniku
poza tym ten minus u Ciebie mi nie pasuje: suma szeregu o wyrazach dodatnich nie może być ujemna
w sumie dla n=0 mamy całkę z jedynki, która równa się stałej C z mojego wyniku
poza tym ten minus u Ciebie mi nie pasuje: suma szeregu o wyrazach dodatnich nie może być ujemna
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 8 lut 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
Suma szeregu funkcyjnego
Ale dlaczego wychodzi dzielenie przez 0, skoro złożenia twierdzenia całkowania wyraz po wyrazie są spełnione (a może nie są?). Poza tym gdy całkuję od początku rozłożony szereg tzn. \(\displaystyle{ 1 + e^{-x}+ e^{-2}...}\) to wychodzi co innego. Dlatego nie mam pojęcia jak powinna wyglądać poprawna odpowiedź.
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 19 lut 2009, o 11:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żywiec/Gliwice
- Pomógł: 23 razy
Suma szeregu funkcyjnego
nie ma dzielenia przez zero. Szereg zaczyna Ci się od jedynki. Przeczytaj poprzedniego mojego posta
-- 8 wrz 2009, o 19:45 --
chodzi mi o to
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \int {e^{-nx}} =\int 1dx + \sum_{n=1}^{\infty} \int {e^{-nx}} = C+ \int {\frac{e^{x}}{e^{x}+1}}}\)
gdzie C musisz wyznaczyc podstawiając coś za x
-- 8 wrz 2009, o 19:45 --
chodzi mi o to
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \int {e^{-nx}} =\int 1dx + \sum_{n=1}^{\infty} \int {e^{-nx}} = C+ \int {\frac{e^{x}}{e^{x}+1}}}\)
gdzie C musisz wyznaczyc podstawiając coś za x
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 8 lut 2007, o 22:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
Suma szeregu funkcyjnego
A czemu muszę rozdzielić ten pierwszy element? Dlaczego nie mogę po prostu scałkować lewej strony?
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Suma szeregu funkcyjnego
A możesz wyjaśnić, czemu liczysz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}}\) zamiast \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}}\)?