promien zbieznosci i suma szeregu potęgowego

[padalec007]

Witam, do policzenia jest to co w temacie dla nastepującego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n ^{2} }{(n+1)!}x ^{2n}}\)

z góry dziekuje za pomoc

[Nakahed90]

Wzór na promień zbieżności znasz?

[padalec007]

no dobra promien sobie umiem policzyc ale sumy nie :/

[miodzio1988]

Podstawienie->Calkowanie/rozniczkowanie wyraz po wyrazie(bo mamy szereg potęgowy)-> korzystamy z gotowego wzoru na sume-> calkowanie/rozniczkowanie-> szukanie stałej C (jesli potrzeba )-> wracamy do podstawienia. Przyklady tego postępowania musiales mieć(albo masz je w książce), więc nie powinno być problemu.

[padalec007]

no własnie tak próbowałem tyle, że rózniczkowałem ze 3 razy zanim wyszło cos sensownego, chciałem upewnic sie ze trzeba zrobic to tyle własnie razy dlatego prosiłem o policzenie tego po jednokrotnym całkowaniu/różniczkowaniu nic nie widze

[miodzio1988]

Czasami kilka razy trzeba rozniczkowac/calkowac. Jesli chcesz to sprawdzę to co policzyles. Napisz to tutaj i poszukam błędów.

[Qń]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n ^{2} }{(n+1)!}x ^{2n} =
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n+1)n - (n+1) + 1}{(n+1)!}x ^{2n} = \\ \\ =
\sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n+1)!} \right) x ^{2n} = \\ \\ =
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(n-1)!} x ^{2n} -
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n!} x ^{2n} +
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(n+1)!} x ^{2n}}\)

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) jest to oczywiście zerem, a dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) jest to dalej równe:

\(\displaystyle{ x^2\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(n-1)!} (x ^2)^{n-1} -
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n!} (x^2)^{n} +
\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(n+1)!} (x ^2)^{n+1} = \\ \\ =
x^2 e^{x^2} - (e^{x^2} -1) + \frac{1}{x^2}(e^{x^2}-x^2-1) =
e^{x^2}\left( x^2-1+\frac{1}{x^2}\right) -\frac{1}{x^2}}\)

Q.