Udowodnij zbieżność jednostajną całki na zbiorze Y=R

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Udowodnij zbieżność jednostajną całki na zbiorze Y=R

Post autor: cmnstrnbnn » 23 cze 2022, o 09:07

Udowodnij zbieżność jednostajną nad \(\displaystyle{ Y=\mathbb{R}}\) stosując kryterium Weierstrassa.

\(\displaystyle{ I(y)= \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}} } dx }\)

Ogólnie największym dla mnie problemem jest zastosowanie kryterium Weierstrassa. Z tego co mnie uczono, to można byłoby je zastosować w szeregach. Potrafię zmienić całkę \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x) dx }\) na szereg, ale nieskończoności mnie pokonują. Proszę o wskazówki

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9807
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2221 razy

Re: Udowodnij zbieżność jednostajną całki na zbiorze Y=R

Post autor: Dasio11 » 23 cze 2022, o 11:37

Wersja kryterium Weierstrassa dla całek jest następująca: załóżmy, że \(\displaystyle{ Y}\) jest dowolnym zbiorem i \(\displaystyle{ f : [0, \infty) \times Y \to \RR}\) jest funkcją, taką że dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) funkcja \(\displaystyle{ f_y(x) = f(x, y)}\) jest całkowalna na każdym przedziale ograniczonym postaci \(\displaystyle{ [0, b]}\), gdzie \(\displaystyle{ b > 0}\). Załóżmy też, że \(\displaystyle{ g : [0, \infty) \to \RR}\) jest taką funkcją, że

(i) \(\displaystyle{ |f(x, y)| \le g(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0, y \in Y}\);

(ii) istnieje skończona wartość całki \(\displaystyle{ \int \limits_0^{\infty} g(x) \, \dd x}\).

Wtedy całka \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} f(x, y) \, \dd x}\) istnieje i jest zbieżna jednostajnie na \(\displaystyle{ Y}\).

Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Udowodnij zbieżność jednostajną całki na zbiorze Y=R

Post autor: cmnstrnbnn » 23 cze 2022, o 12:27

Dobra, to jeszcze poprawię zadanie, bo tam jest całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}} } dx }\), a nie od zera.

To więc próbuję rozwiązać zadanie

\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} \left| \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}}} \right| dx \le \int_{1}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt[5]{x^{7}}} }\) ta nierówność zachodzi dla każdego x większego albo równego 1

Czyli jak udowodnię, że całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}x^{-\frac{7}{5} } }\) jest zbieżna, to udowodnię zbieżność jednostajnej mojej funkcji \(\displaystyle{ I(y)}\) na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

\(\displaystyle{ \int x^{- \frac{7}{5}}= \frac{-5}{2} \cdot x^{- \frac{2}{5}} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ T\to +\infty} \int_{1}^{T}x^{-\frac{7}{5} }= \lim_{ T\to +\infty}\frac{-5}{2} \cdot T^{- \frac{2}{5}}- \frac{-5}{2} =\frac{5}{2}}\)

Czyli całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}x^{-\frac{7}{5} } }\) jest zbieżna, czyli nasza funkcja \(\displaystyle{ I(y)}\) jest zbieżna jednostajnie na zbiorze \(\displaystyle{ Y=\mathbb{R}}\)

Koniec dowodu

Czy to wszystko co napisałem wyżej jest poprawne?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9807
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2221 razy

Re: Udowodnij zbieżność jednostajną całki na zbiorze Y=R

Post autor: Dasio11 » 23 cze 2022, o 13:54

Tak, z tym że zamiast
cmnstrnbnn pisze:
23 cze 2022, o 12:27
\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} \left| \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}}} \right| dx \le \int_{1}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt[5]{x^{7}}} }\)
powinno być

\(\displaystyle{ \left| \frac{\cos(\left| y\right|- x^{7})}{ \sqrt[5]{x^{4}+x^{7}}} \right| \le \frac{1}{ \sqrt[5]{x^{7}}}}\).

Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Udowodnij zbieżność jednostajną całki na zbiorze Y=R

Post autor: cmnstrnbnn » 23 cze 2022, o 16:11

Faktycznie racja, ale czy to dużo zmieni w moim rozwiązaniu?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9807
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2221 razy

Re: Udowodnij zbieżność jednostajną całki na zbiorze Y=R

Post autor: Dasio11 » 23 cze 2022, o 17:01

Z graficznego punktu widzenia pewnie nie, bo znikną tylko całki, a reszta zostanie jaka jest. Natomiast z matematycznego zmiana jest zasadnicza, bo sprawia że dowód staje się logiczny i poprawny. W rozumowaniu matematycznym każdy wygłoszony fakt musi w oczywisty sposób wynikać z faktów wygłoszonych wcześniej. Tymczasem po pierwsze przed zastosowaniem kryterium nawet nie wiadomo czy całka

$$\int \limits_1^{\infty} \left| \frac{\cos(|y|-x^7)}{\sqrt[5]{x^4+x^7}} \right| \, \dd x,$$

jest zbieżna, więc tym bardziej nie jest oczywiste, że spełnia ona rzeczoną nierówność

$$\int \limits_1^{\infty} \left| \frac{\cos(|y|-x^7)}{\sqrt[5]{x^4+x^7}} \right| \, \dd x \le \int \limits_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{x^7}} \, \dd x.$$

Po drugie zaś nawet gdyby było skądś wiadomo, że całka istnieje i spełnia taką nierówność, to z samej nierówności między całkami nie da się wywnioskować, że zbieżność jest jednostajna - w dowodzie kryterium Weierstrassa jest bardzo istotne, że nierówność jest spełniona dla funkcji, a nie tylko ich całek. Mam nadzieję że jest jasne, iż stwierdzenie postaci "dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ g(x) \le h(x)}\)" niesie o wiele więcej informacji niż $$"\int \limits_1^{\infty} g(x) \, \dd x \le \int \limits_1^{\infty} h(x) \, \dd x".$$

Choć może z praktycznego punktu widzenia to jeszcze zależy, co studiujesz - poza kierunkami czysto matematycznymi pewnie nikt by na tę subtelność nie zwrócił uwagi, mimo że od strony logicznej jest to rażący błąd.

Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Udowodnij zbieżność jednostajną całki na zbiorze Y=R

Post autor: cmnstrnbnn » 23 cze 2022, o 17:13

Tak, jasne

Dziękuję bardzo za pomoc, już wszystko rozumiem

ODPOWIEDZ