Wielomiany Taylora

[189262sun]

Mam pytanie jak zrobić to zadanie, bo nie mam pomyslu, dokladnie chodzi o ostatnie zdanie z \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} x(n) = \infty}\).
Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ 0< \alpha <1}\), to równanie

\(\displaystyle{ 1+ \frac{x}{1!} + \frac{ x^{2} }{2!}+ ... + \frac{x ^{n} }{n!} = \alpha e^{x} }\)

ma w przedziale \(\displaystyle{ [0,+ \infty )}\) dokładnie jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x = x(n)}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } x(n)= \infty }\) (O tą część zadania chodzi)

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.

[Dasio11]

Dla ustalonego \(\displaystyle{ M > 0}\) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}}\) jest jednostajnie zbieżny do \(\displaystyle{ e^x}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, M]}\). Stąd dla \(\displaystyle{ \varepsilon = 1-\alpha}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) i \(\displaystyle{ x \in [0, M]}\) jest

\(\displaystyle{ \left| 1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} - e^x \right| < 1-\alpha \le (1-\alpha) e^x}\).

W szczególności dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) i \(\displaystyle{ x \in [0, M]}\) zachodzi

\(\displaystyle{ 1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} > \alpha e^x}\)

i stąd \(\displaystyle{ x(n) > M}\).

[189262sun]

Dla ustalonego \(\displaystyle{ M > 0}\) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}}\) jest jednostajnie zbieżny do \(\displaystyle{ e^x}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, M]}\). Stąd dla \(\displaystyle{ \varepsilon = 1-\alpha}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) i \(\displaystyle{ x \in [0, M]}\) jest

\(\displaystyle{ \left| 1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} - e^x \right| < 1-\alpha \le (1-\alpha) e^x}\).

W szczególności dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) i \(\displaystyle{ x \in [0, M]}\) zachodzi

\(\displaystyle{ 1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} > \alpha e^x}\)

i stąd \(\displaystyle{ x(n) > M}\).

Dobrze rozumiem, ze jesli \(\displaystyle{ x(n)>M}\) to mozna brac dowolnie duze \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ x(n)>M}\) więc \(\displaystyle{ x(n) = \infty}\) tak?

[matmatmm]

Dobrze rozumiem, ze jesli \(\displaystyle{ x(n)>M}\) to mozna brac dowolnie duze \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ x(n)>M}\) więc \(\displaystyle{ x(n) = \infty}\) tak?

To co piszesz ma mało sensu, bo \(\displaystyle{ x(n)}\) jest liczbą zależną od \(\displaystyle{ n\in\NN}\) (i zawsze jest rzeczywista).
A przedstawione rozumowanie nie dowodzi bynajmniej, że (przy pewnym \(\displaystyle{ n\in\NN}\)) \(\displaystyle{ x(n)}\) jest większe od każdego \(\displaystyle{ M>0}\).

[Dasio11]

Należało wykazać równość \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x(n) = \infty}\), co z definicji oznacza że: dla każdego \(\displaystyle{ M > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ N \in \NN}\), takie że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) zachodzi \(\displaystyle{ x(n) > M}\). To właśnie zostało pokazane: na początku ustalamy \(\displaystyle{ M > 0}\), potem korzystamy z jednostajnej zbieżności żeby wskazać pewną liczbę \(\displaystyle{ N}\), a na końcu dowodzimy, że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) spełnione jest \(\displaystyle{ x(n) > M}\).