Promień zbieżności

[shreder221]

Dzień dobry. Moim zadaniem jest policzyć promienie zbieżności tych szeregów. Oba wynikowe logarytmy są zgodne z odpowiedziami za to różne są promienie Co źle liczę?



\(\displaystyle{ \sum^{ \infty }_{n=1} \frac{x^{n}}{n}=...=-\ln\left| 1-x\right| }\)
\(\displaystyle{ \left| 1-x\right|>0 }\)
\(\displaystyle{ x \neq 1}\)

ODPOWIEDŹ: \(\displaystyle{ \left| x\right| <1}\)
i drugi przykład

\(\displaystyle{ \sum^{ \infty }_{n=1} (-1)^{n} \frac{x^{n}}{n}=...=-\ln\left| 1+x\right| }\)
\(\displaystyle{ \left| 1+x\right|>0 }\)
\(\displaystyle{ x \neq -1}\)
ODPOWIEDŹ: \(\displaystyle{ \left| x\right| < -1 }\)

[Dasio11]

Trudno powiedzieć, bo napisałeś tylko parę nierówności i odpowiedź bez żadnego uzasadnienia.

[a4karo]

A jaki zbiór opisuje nierówność `|x|<-1` ?
Chyba automatycznie przepisujesz znaczki bez zrozumienia.

[shreder221]

Trudno powiedzieć, bo napisałeś tylko parę nierówności i odpowiedź bez żadnego uzasadnienia.

Logarytmy są poprawne wg odpowiedzi dlatego darowałem sobie metodę ich otrzymania.
Wydaje mi się że mógłbym ten post napisać w temacie logarytmów/modułów z pytaniem o dziedzinę/rozwiązanie wartości bezwzględnej ale uznałem że lepiej jednak to tutaj dać.

A jaki zbiór opisuje nierówność `|x|<-1` ?
Chyba automatycznie przepisujesz znaczki bez zrozumienia.

miało być \(\displaystyle{ |x| \le <1}\)

BTW. To zadanie trochę mnie zdziwiło bo na tablicy jak robiłem te 2 zadania to bezwiednie sam uzyskałem prawidłowe wyniki a w domu kompletnie mi to nie wychodzi

[Dasio11]

Wydaje mi się że mógłbym ten post napisać w temacie logarytmów/modułów z pytaniem o dziedzinę/rozwiązanie wartości bezwzględnej ale uznałem że lepiej jednak to tutaj dać.

W tym, jak się zdaje, leży główny problem. Każdy szereg potęgowy \(\displaystyle{ P(x)}\) jest zbieżny w pewnym przedziale \(\displaystyle{ I}\). Czasami sumę tego szeregu daje się zapisać wzorem jawnym \(\displaystyle{ w(x)}\), który ma swoją dziedzinę \(\displaystyle{ D}\). Wtedy równość \(\displaystyle{ P(x) = w(x)}\) zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x \in I \cap D}\). W szczególności: nie można wywnioskować promienia ani przedziału zbieżności z samej tylko dziedziny \(\displaystyle{ D}\), ani też w jakikolwiek inny sposób z postaci wzoru jawnego \(\displaystyle{ w(x)}\).

Czyli w tym przypadku - wnioskowanie

zachodzi równość

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln|1-x|}\),

zatem szereg po lewej stronie jest zbieżny dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny funkcji po prawej stronie

jest błędne, bo rzeczona równość zawsze zachodzi najwyżej w przedziale zbieżności szeregu po lewej stronie.

Promień zbieżności szeregu wyznacza się z twierdzenia Cauchy'ego-Hadamarda.

[a4karo]

Z tego co napisałeś wynika, że postępujesz tak:
Bierzesz szereg, znajdujesz jego sumę, patrzysz gdzie ta suma przestaje mieć sens i ten punkt wyznacza promień zbieżności szeregu.
Ale to nie tak.
Szereg \(1-x^2+x^4-x^6+x^8-\cdots\) ma sumę \(1/(1+x^2)\) i ten wzór opisuje funkcję określoną dla wszystkich rzeczywistych `x`, ale jego promień zbieżności nie jest równy nieskończoności

[shreder221]

Twierdzenia Cauchy'ego-Hadamarda nie mieliśmy ani na ćwiczeniach ani na wykładzie. I na ćwiczeniach wnioskowaliśmy w opisany przez ciebie sposób. Jako metodę alternatywną korzystaliśmy z kryterium d'Alemberta co jak wyczytałem jest alternatywą dla tego twierdzenia ale stosowaliśmy to jedynie w pierwszym przypadku. A w każdym przypadku całkowaliśmy/różniczkowaliśmy do szeregu geometrycznego wracaliśmy ponownie różniczkując/całkując. Następnie wyznaczaliśmy odpowiednie \(\displaystyle{ x}\). Oraz obliczaliśmy stałą całkowania jeśli było to konieczne. Fakt faktem może źle odczytałem to co robimy i wyznaczaliśmy dziedzinę. Ale polecenie brzmiało

" Korzystając z różniczkowania lub całkowania szeregów potęgowych
wyznaczyć jawną postać funkcji, której szereg potęgowy ma następującą
postać, określając jego promienie zbieżności:" (JBC Pisał to obcokrajowiec)

więc założyłem jak widać niesłusznie że to promień zbieżności.

EDIT:
Cofam na wykładzie było to twierdzenie choć bez nazwy. Na ćw. z niego nie korzystaliśmy.