arg(z^n)=n*arg(z)
: 9 kwie 2007, o 23:05
Dla \(\displaystyle{ z\neq(0,0)}\) zachodzi \(\displaystyle{ \arg{(z^{n})}=n\arg{z}}\), \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\). Oznacza to, że dla \(\displaystyle{ \arg{z}}\) istnieje taki argument \(\displaystyle{ \arg{(z^{n})}}\), że zachodzi \(\displaystyle{ \arg{(z^{n})}=n\arg{z}}\).
Dowód:
Uzasadnienie:
Zatem: \(\displaystyle{ z^{n}=|z^{n}|(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))=|z|^{n}(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).}\)
Oraz: \(\displaystyle{ z^{n}=(\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n}.}\)
Czyli: \(\displaystyle{ (\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n}=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)}\).
Dowód:
- \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_{+}}\), indukcyjnie:
- \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ \arg{(z^{1})}=\arg{z}=1\cdot\arg{z}}\) - założenie: \(\displaystyle{ \arg{(z^{n_{0}})}=n_{0}\arg{z}}\)
- teza: \(\displaystyle{ \arg{(z^{n_{0}+1})}=(n_{0}+1)\arg{z}}\)
\(\displaystyle{ \arg{(z^{n_{0}+1})}=\\=\arg{(z^{n_{0}}\cdot z)}=\\=\arg{(z^{n_{0}})}+\arg{z}=\\=n_{0}\arg{z}+\arg{z}=\\=(n_{0}+1)\arg{z}.}\) - \(\displaystyle{ n=1}\):
- \(\displaystyle{ n=0}\):
\(\displaystyle{ \arg{(z^{0})}=\arg{(z^{1-1})}=\arg{\left(\frac{z}{z}\right)}=\arg{1}=2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}}\)
Ponieważ dla dowolnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z\neq(0,0)}\) istnieje \(\displaystyle{ \arg{(z^{0})}=0}\), (gdy \(\displaystyle{ k=0}\)), więc zachodzi \(\displaystyle{ \arg{(z^{n})}=n\arg{z}}\), gdyż mamy \(\displaystyle{ \arg{(z^{0})}=0=0\cdot\arg{z}}\) - \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}_{-}}\), podstawiamy \(\displaystyle{ n=-m}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \arg{(z^{n})}=\\=\arg{(z^{-m})}=\\=\arg{\left(\frac{1}{z^{m}}\right)}=\\=\arg{1}-\arg{(z^{m})}=\\=\arg{1}-m\arg{z}=\\=\arg{1}+n\arg{z}.}\)
Biorąc \(\displaystyle{ \arg{1}=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \arg{(z^{n})}=n\arg{z}}\).
\(\displaystyle{ (\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n}=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi).}\)
Uzasadnienie:
\(\displaystyle{ z=\cos\varphi+i\sin\varphi}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi}=1}\)
\(\displaystyle{ \arg{(z^{n})}=n\arg{z}=n\varphi}\), bo \(\displaystyle{ \arg{z}=\varphi.}\)
Zatem: \(\displaystyle{ z^{n}=|z^{n}|(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))=|z|^{n}(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).}\)
Oraz: \(\displaystyle{ z^{n}=(\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n}.}\)
Czyli: \(\displaystyle{ (\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n}=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)}\).