Konstrukcja wielomianów opiera się na jednym, kluczowym lemacie, dowiódłszy którego będziemy mogli natychmiast pokazać, że suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb algebraicznych jest liczbą algebraiczną.
W artykule obowiązuje zapis \(\displaystyle{ \mathbb N = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots \}.}\)
Definicja 1.
Liczbę zespoloną \(\displaystyle{ \alpha}\) nazwiemy liczbą algebraiczną, gdy jest ona pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach całkowitych, tj. gdy istnieją takie \(\displaystyle{ n \in \mathbb N \setminus \{ 0 \}}\) oraz \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb Z,}\) że \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) oraz
\(\displaystyle{ a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + a_{n-2} \alpha^{n-2} + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0.}\)
Najmniejszą liczbę \(\displaystyle{ n \in \mathbb N \setminus \{ 0 \},}\) dla której istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n,}\) nazywamy stopniem liczby algebraicznej \(\displaystyle{ \alpha}\).
Uwaga. Jeśli dla pewnych \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb Q}\) mamy \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) oraz
\(\displaystyle{ a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + a_{n-2} \alpha^{n-2} + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0,}\)
to mnożąc lewą stronę powyższej równości przez wspólny mianownik wszystkich współczynników, otrzymamy niezerowy wielomian o współczynnikach całkowitych, którego \(\displaystyle{ \alpha}\) jest pierwiastkiem. Dlatego będziemy, jako wygodniejszą, stosować równoważną definicję:
Liczba zespolona \(\displaystyle{ \alpha}\) jest liczbą algebraiczną, gdy istnieją takie \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \{ 0 \}}\) oraz \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb Q,}\) że \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) oraz
\(\displaystyle{ a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + a_{n-2} \alpha^{n-2} + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0.}\)
Definicja 2.
Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n>0}\) wielomian \(\displaystyle{ n}\) zmiennych zespolonych
\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right)}\)
nazwiemy wielomianem symetrycznym, gdy dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right) \equiv P \left( z_{\sigma(1)}, z_{\sigma(2)}, z_{\sigma(3)}, \ldots, z_{\sigma(n)} \right).}\)
Przykłady.
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ P(x, y)=x^2 y + x y^2}\) jest wielomianem symetrycznym, bo \(\displaystyle{ P(x, y) \equiv P(y, x).}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ P(x, y, z) = x+y+z+xyz}\) jest wielomianem symetrycznym bo
\(\displaystyle{ P(x, y, z) \equiv P(x, z, y) \equiv P(y, x, z) \equiv P(y, z, x) \equiv P(z, x, y) \equiv P(z, y, x).}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Każdy wielomian jednej zmiennej jest symetryczny, bo jedyna permutacja zbioru \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\) jest identycznością.
Lemat 1.
Jeśli \(\displaystyle{ P}\) jest wielomianem symetrycznym \(\displaystyle{ n}\) zmiennych
\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right) \equiv \sum_{0 \le p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \le m} a_{\mathbf{p}} \cdot z_1^{p_1} z_2^{p_2} z_3^{p_3} \cdots z_n^{p_n},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbf p = \left( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right),}\) to współczynniki przy symetrycznych składnikach są równe, tzn. dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \in \{ 0, 1, 2, 3, \ldots, m \}}\) i dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ a_{\mathbf p} = a_{\mathbf p_{\sigma}},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbf p_{\sigma} = \left( p_{\sigma(1)}, p_{\sigma(2)}, p_{\sigma(3)}, \ldots, p_{\sigma(n)} \right).}\) Na przykład, jeśli wielomian
\(\displaystyle{ P(x, y, z) = axy + byz + czx}\)
jest symetryczny, to \(\displaystyle{ a=b=c.}\)
Dowód. Weźmy dowolne \(\displaystyle{ \mathbf p = \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) oraz dowolną permutację \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}.}\)
Liczba \(\displaystyle{ a_{\mathbf p}}\) jest współczynnikiem wielomianu
\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right)}\)
przy jednomianie \(\displaystyle{ z_1^{p_1} z_2^{p_2} z_3^{p_3} \cdots z_n^{p_n},}\) a liczba \(\displaystyle{ a_{\mathbf{p_{\sigma}}}}\) jest współczynnikiem wielomianu
\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right)}\)
przy jednomianie \(\displaystyle{ z_1^{p_{\sigma(1)}} z_2^{p_{\sigma(2)}} z_3^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p_{\sigma(n)}},}\) a zatem \(\displaystyle{ a_{\mathbf{p_{\sigma}}}}\) jest również współczynnikiem
\(\displaystyle{ P \left( z_{\sigma(1)}, z_{\sigma(2)}, z_{\sigma(3)}, \ldots, z_{\sigma(n)} \right)}\)
przy jednomianie \(\displaystyle{ z_{\sigma(1)}^{p_{\sigma(1)}} z_{\sigma(2)}^{p_{\sigma(2)}} z_{\sigma(3)}^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_{\sigma(n)}^{p_{\sigma(n)}}.}\) Ostatni jednomian jest jednomianem \(\displaystyle{ z_1^{p_1} z_1^{p_2} z_3^{p_3} \cdots z_n^{p_n}}\) z pomieszanym porządkiem czynników, a skoro
\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right) \equiv P \left( z_{\sigma(1)}, z_{\sigma(2)}, z_{\sigma(3)}, \ldots, z_{\sigma(n)} \right),}\)
to współczynniki tych wielomianów przy jednomianie \(\displaystyle{ z_1^{p_1} z_2^{p_2} z_3^{p_3} \cdots z_n^{p_n}}\) muszą być równe, tj. \(\displaystyle{ a_{\mathbf p} = a_{\mathbf p_{\sigma}}. \ \blacktriangledown}\)
Definicja 3.
Wielomiany symetryczne podstawowe \(\displaystyle{ n}\) zmiennych \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n,}\) to takie wielomiany \(\displaystyle{ S_1, S_2, S_3, \ldots, S_n,}\) że spełniona jest tożsamość
\(\displaystyle{ \left(z+z_1 \right) \left(z+z_2 \right) \left(z+z_3 \right) \cdots \left(z+z_n \right) \equiv z^n + S_{1} z^{n-1} + S_{2} z^{n-2} + \ldots + S_{n-1} z + S_n.}\)
Naturalnie, wielomiany symetryczne podstawowe są wielomianami symetrycznymi. Na przykład, dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy
\(\displaystyle{ S_1(x, y, z)= x+y+z\\
S_2(x, y, z)= xy+yz+xz \\
S_3(x, y, z)= xyz.}\)
Lemat 2.
Każdy wielomian symetryczny o współczynnikach całkowitych można zapisać jako sumę oraz iloczyn wielomianów symetrycznych podstawowych i liczb całkowitych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego \(\displaystyle{ n}\) zmiennych \(\displaystyle{ P}\) o całkowitych współczynnikach istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ n}\) zmiennych \(\displaystyle{ Q}\) o całkowitych współczynnikach, że
\(\displaystyle{ P( \mathbf z ) \equiv Q \left( S_1( \mathbf z), S_2( \mathbf z), S_3( \mathbf z), \ldots, S_n( \mathbf z) \right),}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbf z = \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right).}\)
Uwaga. Zastępując w tezie lematu 2 przymiotnik "całkowity" przymiotnikiem "wymierny", otrzymamy prawdziwe zdanie, którego dowód przebiega analogicznie. Dotyczy to także lematu 3. Tylko wersję wymierną wykorzystamy w dowodzie twierdzenia, lecz uznaje się za ogólnie pożyteczne zagwarantować prawdziwość również wersji całkowitej.
Dowód. Niech \(\displaystyle{ f: \NN \to \NN}\) będzie taką funkcją rosnącą na zbiorze \(\displaystyle{ \NN \setminus \{0 \},}\) że \(\displaystyle{ f(0)=f(1)=0.}\)
Taką funkcją jest np.
\(\displaystyle{ f(m)=\begin{cases} 0 &\text{dla } m=0 \\ m-1 & \text{dla } m \neq 0 \end{cases},}\)
lecz nie jest istotne, którą z takich funkcji wybierzemy.
Dla ciągu liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) rozważmy wielomian symetryczny
\(\displaystyle{ \sum_{\sigma \in S} z_1^{p_{\sigma(1)}} z_2^{p_{\sigma(2)}} z_3^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p_{\sigma(n)}},}\)
gdzie \(\displaystyle{ S}\) oznacza zbiór permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2, 3, \ldots, n \}.}\) Jest on sumą jednomianów, przy których, na mocy lematu 1, stoi ten sam naturalny współczynnik \(\displaystyle{ a.}\) Wyrażeniem generowanym przez ciąg \(\displaystyle{ \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) nazwiemy wielomian
\(\displaystyle{ G \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right) \equiv \frac{1}{a} \sum_{\sigma \in S} z_1^{p_{\sigma(1)}} z_2^{p_{\sigma(2)}} z_3^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p_{\sigma(n)}}.}\)
Formalnie, argumentami \(\displaystyle{ G}\) powinny być też liczby \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n,}\) lecz dla skrócenia zapisu będziemy je pomijać. Zauważmy, że kolejność liczb \(\displaystyle{ p_j}\) w ciągu nie wpływa na wyrażenie przez ten ciąg generowane.
O takim wyrażeniu możemy myśleć jako o symetrycznym układzie kostek \(\displaystyle{ n-}\)wymiarowych umieszczonych w nieskończonej tablicy \(\displaystyle{ n-}\)wymiarowej, przy czym kostka o współrzędnych \(\displaystyle{ \mathbf q = \left( q_1, q_2, q_3, \ldots, q_n \right)}\) znajdzie się w układzie wtedy i tylko wtedy, gdy jednym ze składników \(\displaystyle{ G( \mathbf p )}\) jest jednomian \(\displaystyle{ z_1^{q_1} z_2^{q_2} z_3^{q_3} \cdots z_n^{q_n},}\) tj. gdy \(\displaystyle{ \mathbf q = \mathbf p_{\sigma}}\) dla pewnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma: \{1, 2, 3, \ldots, n \} \to \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}.}\)
Przykład:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla \(\displaystyle{ m=0:}\) Wszystkie ciągi \(\displaystyle{ \mathbf p = \left( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right),}\) takie że
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n f \left( p_j \right) = 0,}\)
to ciągi samych zer i jedynek, które generują wyłącznie wyrażenia \(\displaystyle{ S_j}\) oraz liczbę \(\displaystyle{ 1.}\) Dokładniej,
\(\displaystyle{ G( \underbrace{0, 0, 0, \ldots, 0}_{n \text{ zer}}) = 1 \\
G( \underbrace{1, 1, 1, \ldots, 1}_{j \text{ jedynek}}, \underbrace{0, 0, \ldots, 0}_{n-j \text{ zer}} ) = S_j \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right).}\)
Teza jest więc spełniona.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Ustalmy \(\displaystyle{ m \ge 1}\) i załóżmy, że dla każdego \(\displaystyle{ k<m}\) każdy ciąg \(\displaystyle{ \mathbf p = \left( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) spełniający
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n f \left( p_j \right) = k}\)
ma tę własność, że wyrażenie generowane przez \(\displaystyle{ \mathbf p}\) można przedstawić za pomocą sumy i iloczynu wielomianów \(\displaystyle{ S_1, S_2, S_3, \ldots, S_n}\) oraz liczb całkowitych. Pokażemy, że własność tę mają również ciągi \(\displaystyle{ \mathbf p,}\) dla których
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n f \left( p_j \right)=m.}\)
Weźmy dowolny ciąg \(\displaystyle{ \mathbf p = \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) spełniający powyższą równość. Ponieważ kolejność jego wyrazów nie wpływa na wyrażenie przezeń generowane, możemy założyć, że \(\displaystyle{ j}\) pierwszych wyrazów jest niezerowych, a następne \(\displaystyle{ n-j}\) są zerami, dla pewnego \(\displaystyle{ j \in \{1, 2, 3, \ldots, n \}.}\) Na mocy założenia indukcyjnego, potrafimy skonstruować wyrażenie generowane przez ciąg
\(\displaystyle{ \mathbf p^- =\left( p_1 - 1, p_2 - 1, p_3 - 1, \ldots, p_j - 1, p_{j+1}, p_{j+2}, \ldots, p_n \right) = \left( p^-_1, p^-_2, p^-_3, \ldots, p^-_n \right),}\)
ponieważ co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ p_1, p_2, p_3, \ldots, p_j,}\) chwilowo nazwijmy ją \(\displaystyle{ p_i,}\) spełnia \(\displaystyle{ p_i \ge 2,}\) co daje \(\displaystyle{ f \left( p_i-1 \right) < f \left( p_i \right).}\) Stąd
\(\displaystyle{ {f \left( p_1 - 1 \right) + f \left( p_2 - 1 \right) + f \left( p_3 - 1 \right) + \ldots + f \left( p_j - 1 \right) + f \left( p_{j+1} \right) + f \left(p_{j+2} \right) + \ldots + f \left( p_n \right)} < \\ < \sum_{i=1}^n f \left( p_i \right) = m.}\)
Rozważmy wyrażenie
\(\displaystyle{ V=G( \mathbf p^- ) \cdot S_j \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right).}\)
Jest ono wielomianem symetrycznym o całkowitych współczynnikach, zatem (na mocy lematu 1) jest sumą całkowitych wielokrotności wyrażeń generowanych przez pewne ciągi. Dodatkowo, jeśli \(\displaystyle{ \mathbf q}\) jest jednym z takich ciągów, to z dokładnością do kolejności współrzędnych mamy
\(\displaystyle{ \mathbf q = \left( p^-_1 + \chi_A(1), p^-_2 + \chi_A(2), p^-_3 + \chi_A(3), \ldots, p^-_n + \chi_A(n) \right) = \left( q_1, q_2, q_3, \ldots, q_n \right)}\)
dla pewnego \(\displaystyle{ j-}\)elementowego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \{ 1, 2, 3, \ldots, n \},}\) gdzie \(\displaystyle{ \chi_A}\) oznacza funkcję charakterystyczną zbioru \(\displaystyle{ A.}\) Wówczas zachodzi jedna z dwóch możliwości:
\(\displaystyle{ \mathrm{I} \phantom{\mathrm{I}}:}\) \(\displaystyle{ k \in A}\) dla wszystkich takich \(\displaystyle{ k,}\) że \(\displaystyle{ p^-_k > 0.}\) Wtedy \(\displaystyle{ \mathbf q = \mathbf p_{\sigma}}\) dla pewnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma: \{1, 2, 3, \ldots, n \} \to \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}.}\)
\(\displaystyle{ \mathrm{II}:}\) Istnieje takie \(\displaystyle{ k \notin A,}\) że \(\displaystyle{ p^-_k > 0,}\) co daje też \(\displaystyle{ k \le j.}\) Wtedy na pierwszych \(\displaystyle{ j}\) pozycjach ciągu \(\displaystyle{ \mathbf q}\) mamy liczby nie większe niż odpowiednie współrzędne w ciągu \(\displaystyle{ \mathbf p,}\) przy czym co najmniej na współrzędnej \(\displaystyle{ k}\) zachodzi ostra mniejszość oraz
\(\displaystyle{ 1 \le p^-_k = p_k-1,}\) a więc \(\displaystyle{ f \left(q_k \right) = f \left( p_k -1 \right) < f \left(p_k \right).}\)
Z kolei na pozostałych \(\displaystyle{ n-j}\) pozycjach ciągu \(\displaystyle{ \mathbf q}\) stoją zera i jedynki. Stąd
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n f \left( q_i \right) = \sum_{i=1}^j f \left( q_i \right) < \sum_{i=1}^j f \left( p_i \right) = \sum_{i=1}^n f \left( p_i \right) = m.}\)
Co więcej, po redukcji wyrażeń podobnych, wyrażenie \(\displaystyle{ G ( \mathbf p )}\) występuje w \(\displaystyle{ V}\) ze współczynnikiem \(\displaystyle{ 1,}\) bo dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma: \{1, 2, 3, \ldots, n \} \to \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}}\) jednomian
\(\displaystyle{ z_1^{p_{\sigma(1)}} z_2^{p_{\sigma(2)}} z_3^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p_{\sigma(n)}}}\)
może, jako składnik, powstać z iloczynu
\(\displaystyle{ G( \mathbf p^- ) \cdot S_j \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right)}\)
tylko na jeden sposób: przez dobranie z lewego czynnika jednomianu
\(\displaystyle{ z_1^{p^-_{\sigma(1)}} z_2^{p^-_{\sigma(2)}} z_3^{p^-_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p^-_{\sigma(n)}}}\)
a z prawego - jednomianu, który ma jedynki w potędze przy \(\displaystyle{ i-}\)tej zmiennej dla takich i tylko takich \(\displaystyle{ i,}\) dla których
\(\displaystyle{ p^-_{\sigma(i)} = p_{\sigma(i)} - 1,}\)
tj. dla \(\displaystyle{ i= \sigma^{-1}(1), \sigma^{-1}(2), \sigma^{-1}(3), \ldots, \sigma^{-1}(j).}\)
Pokazaliśmy zatem, że \(\displaystyle{ V}\) jest sumą \(\displaystyle{ G( \mathbf p )}\) ze współczynnikiem jeden oraz całkowitych wielokrotności wyrażeń generowanych przez ciągi \(\displaystyle{ \mathbf q,}\) dla których
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n f \left( q_i \right) < m.}\)
Przenosząc \(\displaystyle{ G( \mathbf p )}\) na jedną stronę i całą resztę na drugą, otrzymujemy równość postaci
\(\displaystyle{ G( \mathbf p ) \equiv V - \sum_{\mathbf q} a_{\mathbf q} G ( \mathbf q ),}\)
tzn. przedstawienie \(\displaystyle{ G( \mathbf p )}\) w postaci sumy całkowitych wielokrotności wyrażeń, z których każde (na mocy założenia indukcyjnego) potrafimy przedstawić w szukanej postaci wielomianu
\(\displaystyle{ Q \left( S_1 ( \mathbf z ), S_2 ( \mathbf z ), S_3 ( \mathbf z ), \ldots, S_n ( \mathbf z ) \right).}\)
Krok indukcyjny jest więc dowiedziony, co kończy też dowód lematu. \(\displaystyle{ \blacktriangledown}\)
Lemat 3.
Załóżmy, że dla ciągu liczb zespolonych \(\displaystyle{ \mathbf a =\left( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m \right)}\) wielomian
\(\displaystyle{ \left( z-a_1 \right) \left( z-a_2 \right) \left( z-a_3 \right) \cdots \left( z-a_m \right)}\)
ma współczynniki całkowite. Załóżmy też, że wielomian \(\displaystyle{ m+n+1}\) zmiennych
\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right)}\)
ma współczynniki całkowite oraz jest symetryczny względem zestawu zmiennych \(\displaystyle{ \left(z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m \right),}\) tzn. dla każdego ustalonego ciągu liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left( z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right)}\) wielomian
\(\displaystyle{ R \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m \right) \equiv P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right)}\)
jest wielomianem symetrycznym zmiennych \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m.}\)
Wówczas wielomian \(\displaystyle{ n+1}\) zmiennych
\(\displaystyle{ Q \left(z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right) \equiv P \left( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right)}\)
ma współczynniki całkowite.
Dowód. Na mocy założenia, wszystkie z liczb
\(\displaystyle{ S_1 ( \mathbf a ), S_2 ( \mathbf a ), S_3 ( \mathbf a ), \ldots, S_n ( \mathbf a )}\)
są całkowite. Przedstawmy \(\displaystyle{ P}\) w postaci
\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right) \equiv \sum_{\mathbf p} W_{\mathbf p} \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m \right) \cdot z^{p_0} \cdot \zeta_1^{p_1} \zeta_2^{p_2} \zeta_3^{p_3} \cdots \zeta_n^{p_n},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbf p =\left(p_0, p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right).}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ \mathbf p}\) wielomian \(\displaystyle{ W_{\mathbf p}}\) jest symetryczny i ma całkowite współczynniki, a zatem, na mocy lematu 2, jest sumą i iloczynem całkowitych wielokrotności wielomianów \(\displaystyle{ S_j \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m \right)}\) oraz liczb całkowitych. Ponieważ dla \(\displaystyle{ j=1, 2, 3, \ldots, m}\) liczby \(\displaystyle{ S_j \left(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m \right)}\) są całkowite, to dla każdego \(\displaystyle{ \mathbf p = \left( p_0, p_1, p_2, \ldots, p_n \right)}\) liczba
\(\displaystyle{ a_{\mathbf p} = W_{\mathbf p} \left( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m \right)}\)
jest całkowita, a więc
\(\displaystyle{ Q \left(z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right) \equiv \sum_{\mathbf p} a_{\mathbf p} \cdot z^{p_0} \cdot \zeta_1^{p_1} \zeta_2^{p_2} \zeta_3^{p_3} \cdots \zeta_n^{p_n}}\)
ma współczynniki całkowite. \(\displaystyle{ \blacktriangledown}\)
Twierdzenie.
Niech \(\displaystyle{ a, b}\) będą liczbami algebraicznymi stopnia \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) odpowiednio.
Wtedy
(a) \(\displaystyle{ a+b}\) jest liczbą algebraiczną,
(b) \(\displaystyle{ a-b}\) jest liczbą algebraiczną,
(c) \(\displaystyle{ a \cdot b}\) jest liczbą algebraiczną,
(d) Jeśli \(\displaystyle{ b \neq 0,}\) to \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) jest liczbą algebraiczną.
Ponadto, stopień liczb \(\displaystyle{ a+b, \ a-b, \ ab, \ \frac{a}{b}}\) jest nie większy niż \(\displaystyle{ m \cdot n.}\)
Dowód. Istnieją wielomiany o współczynnikach całkowitych: \(\displaystyle{ P}\) stopnia \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ Q}\) stopnia \(\displaystyle{ n,}\) takie że
\(\displaystyle{ P(a)=Q(b)=0.}\)
Na mocy Zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma \(\displaystyle{ m}\) pierwiastków \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m,}\) a wielomian \(\displaystyle{ Q}\) ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków \(\displaystyle{ b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n.}\) Nie jest istotne, czy któryś pierwiastek jest wielokrotny. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ a=a_1, \ b=b_1.}\)
Wielomiany
\(\displaystyle{ P(z) \equiv A \left(z-a_1 \right) \left(z-a_2 \right) \left(z-a_3 \right) \cdots \left(z-a_m \right) \\
Q(z) \equiv B \left(z-b_1 \right) \left(z-b_2 \right) \left(z-b_3 \right) \cdots \left(z-b_n \right)}\)
mają całkowite współczynniki. W szczególności, \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są całkowite jako współczynniki przy najwyższych potęgach, a więc wielomiany
\(\displaystyle{ \frac{1}{A} P(z) \equiv \left(z-a_1 \right) \left(z-a_2 \right) \left(z-a_3 \right) \cdots \left(z-a_m \right) \\ \\
\frac{1}{B} Q(z) \equiv \left(z-b_1 \right) \left(z-b_2 \right) \left(z-b_3 \right) \cdots \left(z-b_n \right)}\)
mają wymierne współczynniki.
(a) Niech
\(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i + b_j \right) \right).}\)
Stosując lemat 3 do ciągu
\(\displaystyle{ \mathbf a=a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m}\)
oraz wielomianu \(\displaystyle{ m+n+1}\) zmiennych
\(\displaystyle{ V \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( z_i + \zeta_j \right) \right),}\)
otrzymujemy, że wielomian \(\displaystyle{ n+1}\) zmiennych
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i + \zeta_j \right) \right)}\)
ma współczynniki wymierne (patrz uwaga do lematu 2). Ponownie stosując lemat 3 do ciągu
\(\displaystyle{ \mathbf b=b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n}\)
oraz wielomianu \(\displaystyle{ n+0+1}\) zmiennych
\(\displaystyle{ V \left( \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n, z \right) = \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i + \zeta_j \right) \right)}\)
otrzymujemy, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) jednej zmiennej
\(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i + b_j \right) \right)}\)
ma współczynniki wymierne. Ponadto
\(\displaystyle{ W(a+b) = W \left( a_1+b_1 \right) = 0,}\)
co kończy dowód części (a).
Podobnie postępujemy dla wielomianów
(b) \(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i - b_j \right) \right),}\)
(c) \(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i \cdot b_j \right) \right),}\)
(d) \(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( b_j \cdot z- a_i \right);}\)
by pokazać, że mają współczynniki całkowite i ich pierwiastkami są odpowiednio liczby \(\displaystyle{ a-b, \ a \cdot b, \ \frac{a}{b}.}\) Ponadto, wszystkie te wielomiany mają stopień \(\displaystyle{ m \cdot n,}\) co kończy dowód. \(\displaystyle{ \blacktriangledown}\)
Na zakończenie skonstruujemy wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}.}\) Mamy
\(\displaystyle{ a_1=\sqrt{2}, \ a_2 = -\sqrt{2} \\ \\
b_1 = \sqrt[3]{3}, b_2 = \sqrt[3]{3} \cdot \frac{-1+ \mathrm i \sqrt{3}}{2}, \ b_3 = \sqrt[3]{3} \cdot \frac{-1- \mathrm i \sqrt{3}}{2}, \\ \\ \\
P(z) = \left( z- a_1 \right) \left( z-a_2 \right) = z^2-2 \\ \\
Q(z) = \left(z-b_1 \right) \left(z-b_2 \right) \left(z-b_3 \right) = z^3 - 3.}\)
Liczymy
\(\displaystyle{ \left( z- \left( a_i + b_1 \right) \right) \left( z- \left( a_i + b_2 \right) \right) \left( z- \left( a_i + b_3 \right) \right) = Q \left( z-a_i \right) = \left( z-a_i \right)^3-3.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \begin{align*}
W(z) & = \prod_{i=1}^2 \prod_{j=1}^3 \left( z- \left( a_i + b_j \right) \right) = \left( \left( z-a_1 \right)^3-3 \right) \left( \left( z-a_2 \right)^3-3 \right) \\[1ex]
& = \left( \left( z-a_1 \right) \left(z-a_2 \right) \right)^3 - 3 \left( \left( z-a_1 \right)^3 + \left(z-a_2 \right)^3 \right) + 9 \\[1ex]
& = \left( z^2-2 \right)^3 - 3 \left(2z^3 - 3 \left(a_1+a_2 \right)z^2 + 3 \left(a_1^2 + a_2^2 \right)z - \left(a_1^3+a_2^3 \right) \right)+9 \\[1ex]
& = z^6-6z^4+12z^2-8 -6z^3-36z+9 = z^6-6z^4-6z^3+12z^2-36z+1.
\end{align*}}\)
Mile widziane pytania i uwagi na PW, zarówno dotyczące błędów lub sugestii merytorycznych, jak również pomysłów w kwestii krótszego i jaśniejszego zapisu poszczególnych części artykułu.