Dla l. zesp. x istnieje jedna l. zesp. y, taka że x+y=(0,0)
: 11 lut 2007, o 14:43
Dla dowolnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ x}\) istnieje dokładnie jedna liczba zespolona \(\displaystyle{ y}\), taka że \(\displaystyle{ x+y=(0,0)}\).
Dowód: Niech \(\displaystyle{ x=(a,b)}\). Wtedy liczba \(\displaystyle{ y=(-a,-b)}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x+y=(0,0)}\), zgodnie z definicją dodawania liczb zespolonych. Przypuśćmy, że istnieje \(\displaystyle{ y'=(c,d)\neq y}\), takie że \(\displaystyle{ x+y'=(0,0)}\). Otrzymujemy:
Jeżeli \(\displaystyle{ x+y=(0,0)}\), to piszemy \(\displaystyle{ x=-y}\).
Dowód: Niech \(\displaystyle{ x=(a,b)}\). Wtedy liczba \(\displaystyle{ y=(-a,-b)}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x+y=(0,0)}\), zgodnie z definicją dodawania liczb zespolonych. Przypuśćmy, że istnieje \(\displaystyle{ y'=(c,d)\neq y}\), takie że \(\displaystyle{ x+y'=(0,0)}\). Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (a+c,b+d)=(0,0)}\),
czyli:
\(\displaystyle{ a+c=0 \\ b+d=0 \\ c=-a,\quad b=-d}\),
co przeczy przypuszczeniu, że \(\displaystyle{ y\neq y'}\).Jeżeli \(\displaystyle{ x+y=(0,0)}\), to piszemy \(\displaystyle{ x=-y}\).